可见这样的√A确与A2构成反函数; (2)矩阵函数的种类不仅是我们介绍的这种,如辛矩阵。以 土i0 A 为例,以我们这里的定义,√A= 0-1 0±i/8/0 10 亦满足B2=A,即B也可以看作某种√A 二、利用零化多项式求解矩阵函数 利用 Jordan标准型求解矩阵函数的方法比较复杂,它需要求」 和P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。 定律:n阶方阵A的最小多项式等于它的特征矩阵的第n个(也就是最后一个) 不变因子d(λ)。(可参见张远达《线性代数原理》P215 设n阶方阵A的不变因子反向依次为dn(λ),d(λ),…(λ)由它们 给出的初等因子分别为 (λ-4)、(λ-2),…(λ-A;(λ-),…(-);∑吗=n 。由于4(λ)/d2(λ),d2(λ)d3(λ)…,d(λ)d(λ),故 入入。必定出现在入A中 2若A(i>r)=A(j≤r)则m≤m 根据上述定理,A的最小多项式 q(λ)=(λ-λ)(λ-λ2)严…(λ-入 A的最小多项式为其零化多项式, (入-A)"(A2-A…(入|-A)=0 令m=∑吗,则可见A可以由A=AA2,,Am线性表示,从而可见这样的 A 确与 2 A 构成反函数； （2）矩阵函数的种类不仅是我们介绍的这种，如辛矩阵。以       -1 0 A = 0 -1 为例，以我们这里的定义，       ±i 0 A = 0 ±i ，但       0 -1 B = 1 0 亦满足 2 B = A ，即 B 也可以看作某种 A 二、利用零化多项式求解矩阵函数. 利用 Jordan 标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求 J 和 P。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。 定律：n 阶方阵 A 的最小多项式等于它的特征矩阵的第 n 个（也就是最后一个） 不变因子 n d (λ) 。（可参见张远达《线性代数原理》P215） 设 n 阶方阵 A 的不变因子反向依次为 n d (λ), n-1 1 d (λ), ,d(λ) ，由它们 给出的初等因子分别为 1 2 r m m m 1 2 r (λ-λ) ,(λ-λ) , ,(λ-λ) ； r+1 s m m r+1 s (λ-λ ) , ,(λ-λ) ；  s i i=1 m = n 由于 1 2 2 3 n-1 n d(λ)|d (λ),d (λ)|d (λ), ,d (λ)|d (λ) ，故 1 oλr+1 s ~λ 必定出现在 λ1 r ~λ 中； 2 o 若 λi j (i> r)=λ(j r)  则 m m i j  根据上述定理，A 的最小多项式 1 2 r m m m 0 1 2 r  (λ)=(λ-λ) (λ-λ) (λ-λ) A 的最小多项式为其零化多项式， 即 1 2 r m m m 1 2 r (λI- A) (λI- A) (λI- A) = O 令  r i i=1 m = m ，则可见 m A 可以由 0 2 m-1 A =I,A,A , ,A 线性表示，从而