A(λ>0)亦可由A°=1A,A2,…Am线性表示所以矩阵函数f(A若存在, 也必定可由A0~Am线性表示 因此我们定义一个系数待定的m-1次多项式g(A)=∑cN根据以上论述 适当选择系数。o"cn,就可以使f(A)=g(A) 又,假设JP分别为A的 Jordan标准形及相应变换矩阵:A=PJP1 f(A)=Pf()P,g()=Pg(UP1→f0)=9(→f()=g(u) f(A)=g(A)f(A)=g(A),…,f?(λ)=g"(A)(i=1,…,r) 由于g(A)为待定系数的多项式,上面就成为关于cocm1的线性方程组。 且方程的个数为m=∑m等于未知数个数,正好可以确定cocm1 由此给出根据最小多项式求矩阵函数的一般方法。 1°求出最小多项式 q(λ)=d(λ)=(入-入)(A-2)…(λ-A),∑吗m (或者特征多项式()=(A-入)(入-A2)…(A-,∑吗=n) 2°形式上写出待定多项式 )=∑cN=+c+2+…+。n (或者g(A)=∑c=c+oλ+o2+…+on 3°求解关于ccn1的线性方程组 g"()=f0(A)k=012:12,r)m+i A (λ> 0) 亦可由 0 2 m-1 A =I,A,A , ,A 线性表示。所以，矩阵函数 f(A)若存在， 也必定可由 0 m-1 A ~ A 线性表示。 因此，我们定义一个系数待定的(m-1)次多项式  m-1 i i i=0 g(λ)= cλ ，根据以上论述， 适当选择系数 0 m-1 c ~ c ，就可以使 f(A)=g(A). 又，假设 J,P 分别为 A 的 Jordan 标准形及相应变换矩阵： -1 A = PJP 则 -1 f(A)= Pf(J)P ， -1 g(A)= Pg(J)P → f(J)=g(J) → i i f(J )= g(J )    i i (m -1) (m -1) i i i i i i f(λ)= g(λ),f (λ)= g (λ), ,f (λ)= g (λ) (i= 1,2, ,r) 由于 g(A)为待定系数的多项式，上面就成为关于 c ~ c 0 m-1 的线性方程组。 且方程的个数为  r i i=1 m = m 等于未知数个数，正好可以确定 c ~ c 0 m-1 由此给出根据最小多项式求矩阵函数的一般方法。 1 o 求出最小多项式 1 2 r  r m m m 0 n 1 2 r i i=1  (λ)= d (λ)=(λ-λ) (λ-λ) (λ-λ) , m = m ； （或者特征多项式 1 2 r  r n n n 1 2 r i i=1 (λ)=(λ-λ) (λ-λ) (λ-λ) , n = n ） 2 o 形式上写出待定多项式  m-1 i 2 m-1 i 0 1 2 m-1 i=0 g(λ)= cλ= c + cλ+ cλ + + c λ （或者  n-1 i 2 n-1 i 0 1 2 n-1 i=0 g(λ)= cλ= c + cλ+ cλ + + c λ ） 3 o 求解关于 0 m-1 c ~ c 的线性方程组 (k) (k) i i g (λ)= f (λ) i ( ) k = 0,1,2, ,m;i= 1,2, ,r