银川能源学院《高签激学》救朱 第四童不定积分 第三节分部积分法 设函数=x)及=v(x)具有连续导数.那么，两个函数乘积的导数公式为 (w)'='v+w', 移项得 w'=(w)'-dv. 对这个等式两边求不定积分，得 jwdk=-Suvdx,或juw=m-∫vdu, 这个公式称为分部积分公式. 分部积分过程： ∫nvdk=∫udwm-Svdu=-m-Suvdx=…. 例1∫xcosxdx=∫xdsinx=xsinx-∫sinxdx=x sinx-cosx+C. 例2∫xe*k=∫xder=xe-∫erdk=er-e+C. 例3∫x2e'=∫x2de*=x2e-jed2 =xer-2fxe'dx=xe"-2fxder=xer-2xe'+2fe'dx =xe"-2xe+2e'+C=e"(x2-2x+2)+C. 例4∫xhx=n2=2nxr, -x-ifsck=jhx-iC. 5 [arccosxdx=xarccosx-[xdarccosx +水e4 =xarccosx-jJ(-x)id(1-x)=xarccosx-/I-x+C. 例6小xarctax=arcm-方aretan-2本 arctax-artanx+C. 21 例7求[e*sinxd, 解因为∫sinxdx=[sinxdex=esinx--fe'dsinx =exsinx-[ex cosxdx=exsinx-[cosxdex 第13页银川能源学院《高等数学》教案 第四章 不定积分 第 13 页 第三节 分部积分法 设函数 uu(x)及 vv(x)具有连续导数 那么 两个函数乘积的导数公式为 (uv)uvuv 移项得 uv(uv)uv 对这个等式两边求不定积分 得   uv dx uv u vdx  或   udv uv vdu  这个公式称为分部积分公式 分部积分过程:              uv dx udv uv vdu uv u vdx  例 1    xcosxdx  xd sin x  xsin x sin xdx x sin xcos xC  例 2 xe dx xde xe e dx xe e C x x x x x x           例 3       2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x       x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2   x e  xe  e dx x x x 2 2 2 x 2 e x 2xe x 2e x C e x (x 2 2x2 )C 例 4        dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2   x x  xdx x x x C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1  例 5   arccosxdx  xarccosx xd arccosx dx x x x x    2 1 1 arccos (1 ) (1 ) 2 1 arccos 2 2 1 2  x x x d x   x x x C 2 arccos 1  例 6    2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx      dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1      dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2  x x x arctanxC 2 1 2 1 arctan 2 1 2  例 7 求 e xdx x sin   解 因为    e xdx  xde e x e d x x x x x sin sin sin sin       x x x x e sin x e cosxdx e sin x cosxde