为∠(X、:m或者SamⅪ、X2:Mm)。 若X、2:Mm线性无关,则 dm(kn、X2.:Xm)=m 5.基扩定理:设Ⅵ是数域K上的线性空间的一个m维子空间,X、X 始是Ⅵ1的一个基,则这m个基向量必可扩充为Ⅵ的一个基;换 言之,在Ⅵ中必可找到m个元素m+1、m+:,使得X X2:始成为W的一个基。这n-m个元素必不在Ⅵ中。 二、子空间的交与和 1定义:设Ⅵ、V是线性空间∨的两个子空间,则 nn2={x|x∈V1,x∈V2 V+V2={x+ylx∈V1,y∈l2} 分别称为Ⅵ和的交与和。 2定理:若和M是线性空间V的两个子空间,则∩2,收+收均为v的 子空间 证明(1)Vx,y∈h∩V2 +y∈v1x+y∈V2 V∩v2 vx∈∩V2k∈K kx∈V, 2 v∩v2 V∩v2是v的一个线性子空间 (2)Vx,x2∈H1Vy1,y2∈V2 (x1+y)∈V1+V2(x2+y2)∈V1+V2(x1+x2)∈V1(y1+y2)∈2为 L(x1、x2、·、xm)或者 Span(x1、x2、·、xm)。 若 x1、x2、·、xm线性无关，则 dim{L(x1、x2、·、xm)}=m 5. 基扩定理：设 V1是数域 K 上的线性空间 Vn 的一个 m 维子空间，x1、x2、·、 xm 是 V1的一个基，则这 m 个基向量必可扩充为 Vn 的一个基；换 言之，在 Vn 中必可找到 n-m 个元素 xm+1、xm+2、·、xn，使得 x1、 x2、·、xn 成为 Vn 的一个基。这 n-m 个元素必不在 V1中。 二、子空间的交与和 1.定义：设 V1、V2是线性空间 V 的两个子空间，则 V V x x V x V 1 2 1 2 =    | ,  V V x y x V y V 1 2 1 2 + = +    | ,  分别称为 V1和 V2的交与和。 2.定理：若 V1和 V2是线性空间 V 的两个子空间，则 V V 1 2，V1＋V2均为 V 的 子空间 [证明]（1） 1 2   x y V V , 1 x y V +  2 x y V +  1 2  +  x y V V 1 2  x V V k K  1 kx V 2 kx V 1 2   kx V V V V 1 2 是 V 的一个线性子空间。 （2） 1 2 1   x x V , 1 2 2   y y V , 1 1 ( ) x y +  + V V 1 2 2 2 ( ) x y +  + V V 1 2 1 2 ( ) x x + V1 1 2 ( ) y y + V2