第二讲线性子空间 一、线性子空间的定义及其性质 1.定义:设是数域K上的线性空间V的一个非空子集合,且对V已有的线 性运算满足以下条件 (1)如果Xy∈M,则X+ye (2)如果κ∈Ⅵ,k∈k,则k∈Ⅵ, 则称Ⅵ是V的一个线性子空间或子空间。 2.性质:(1)线性子空间Ⅵ与线性空间V享有共同的零元素; (2)Ⅵ中元素的负元素仍在Ⅵ中。 E证明(1)0x=0 ∵x∈V1∈p v中的零元素也在Ⅵ中,Ⅵ与V享有共同的零元素。 (2)Vx∈H1 (-1)=(-为∈V1封闭性 中元素的负元素仍在ⅵ中 3.分类:子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间 平凡子空间:{0和V本身 非平凡子空间:除以上两类子空间 4.生成子空间:设XX:Mm为V中的元素,它们的所有线性组合的集合 kx|k∈K,i=1,2…m 也是V的线性子空间,称为由X、:‰m生(张)成的子空间,记第二讲 线性子空间 一、线性子空间的定义及其性质 1. 定义：设 V1是数域 K 上的线性空间 V 的一个非空子集合，且对 V 已有的线 性运算满足以下条件 （1） 如果 x、y  V1，则 x＋y  V1； （2） 如果 x  V1，k  K，则 kx  V1， 则称 V1是 V 的一个线性子空间或子空间。 2. 性质：（1）线性子空间 V1与线性空间 V 享有共同的零元素； （2）V1中元素的负元素仍在 V1中。 [证明]（1） 0x = 0 1 x V V    V 中的零元素也在 V1中，V1与 V 享有共同的零元素。 （2） 1  x V （－1）x=(－x) V1 封闭性  V1中元素的负元素仍在 V1中 3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间 平凡子空间：{0}和 V 本身 非平凡子空间：除以上两类子空间 4. 生成子空间：设 x1、x2、·、xm为 V 中的元素，它们的所有线性组合的集合 1 | , 1,2 m i i i i k x k K i m =      =    也是 V 的线性子空间，称为由 x1、x2、·、xm生（张）成的子空间，记