第二章多元函数微分法 Plink=l 验证压缩映像条件 )-6-1r3 1-到 (x,y) 上述定理的一个直接推广就是下面的定理 定理2设n+1元函数F(x…,xny)在点(x,…,x,y)∈R的 某个邻域W中有定义,并且满足下列条件: 1.F(x,,x,y)=0 2.F∈C(W)(q≥1) 则在点x=(x…,x2)∈R的某邻域U上,存在的一个n元函数 y=f(x,x2,xn)=f(x),使得下列结论成立: 1.y=f(x°),F(x,f(x)=0,Vx∈U a F(,y) OFG,DD) ,(=1,,n) y y-f(xl,rl,.a) 由于篇幅的原因,我们略去这个定理的证明细节. 在定理中,当n=2时,有如下几何意义 假设方程是F(x,y,z)=0表示R中的一个曲面S.一般情形,这 个曲面不能整个地表示成z=x(x,y)(y=y(x,x)或者x=x(y,-) 但是这个曲面的某一部分有可能表示成z=(x,y) (或者y=y(z,x)或者x=x(y,z),那么曲面在其上哪个点的附近的 小片能够表示成=x(x,y)(y=y(x,x)或者x=x(y,2) 定理2中的结果还可以推广到多个方程确定多个隐函数的情形,这 就是下面的定理3. 定理3设在(°,y°)们某个邻域W中有m个n+m元函数 F,(x,y) x∈R ∈R (,y)∈ N CRX 第四节隐函数微分法第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 yk = (yk−1 ), k =1,  ,n,  ⚫ 验证压缩映像条件： ( ) ( ) ( ) ( ) y y M y y y F x y y ~ ˆ ~ ˆ ~ 1 , ˆ −  −   − =      , ( ) ( ) y F x y M Max x y U   =  , , ,  = 2M 上述定理的一个直接推广就是下面的定理 定理 2 设 n +1 元函数 ( ,..., , ) F x1 xn y 在点 x x y R n n 1 0 0 0 1 ( ,..., , ) +  的 某个邻域 W 中有定义，并且满足下列条件： 1. ( ,..., , ) 0 0 0 0 F x1 xn y = ; 2. F C (W) (q 1) q ; 3. 0. ( ,..., , ) 0 0 0 1  y F x xn y   则在点 0 x  = x x R n ( ,..., n ) 0 0 1 的某邻域 U 上, 存在的一个 n 元函数 ( , ,..., ) y = f x1 x2 xn = f (x)  ，使得下列结论成立： 1． ( ) 0 0 y f x  = , F(x, f (x))  0   , x U  . 2． f C (U) q  . 3． i x f x   ( )  , ( 1,... ) ( , )) ( , ) ,..., ) 2 , 1 y ( i n y F x y x F x y x x xn f i − = =       由于篇幅的原因,我们略去这个定理的证明细节. 在定理中,当 n = 2 时,有如下几何意义: 假设方程是 F(x, y,z) = 0 表示 3 R 中的一个曲面 S .一般情形,这 个曲面不能整个地表示成 z = z(x, y) (y = y(z, x)或者x = x(y,z)) . 但是这个曲面的某一部分有可能表示成 z = z(x, y) (或者y = y(z, x)或者x = x(y,z)) . 那么曲面在其上哪个点的附近的 一小片能够表示成 z = z(x, y) (y = y(z, x)或者x = x(y,z)) . 定理 2 中的结果还可以推广到多个方程确定多个隐函数的情形，这 就是下面的定理 3. 定理 3 设在 ( ) 0 0 x , y   们某个邻域 W 中有 m 个 n + m 元函数; F (x, y) i   , i = 1,  ,m , n x  R  , n y  R  , ( ) n m x y W R     