第二章多元函数微分法 首先证明f(x)在x0的连续性.VE,按上面证法中构造矩形D D={(x,y)|a<x<b;c<y<a}∈U,使得, (c, d)c-E, yo +a), =,必有,|f(x)-f(x0)k 2 即y=∫(x)在x0处连续 对于vx∈(a,b),因点(x,f(x)与(x,y)满足同样的条件,即在 点(x,f(x))满足隐函数定理的所有条件,因此同样地可以证明 y=f(x)在点x的连续性 (3)y=f(x)的可微性 任取x,∈(a,b),在对充分小的Ax,显然有 F(x1+△x,f(x1+△x)=0,F(x1f(x1)=0 F(x1+△x,f(x1+△x)-F(x1,f(x1)=0 由二元函数的F(xy)可微性,有 OF(x,,f(x,..a F(xu,f(x,) f(x1+Ax)-f(x1)+ ox +o(△x+o(y(x1)≡0 上式两端同除以Δx得 f(x,+Ax)-f(x a(x1:/(p)+0 (x1,f(x1) (1) 当Ax→0时,Ay=f(x1+Ax)-f(x)→0,注意到 aF(xIf(xm) ≠0,由上式可得 F(x1,(x1) x f(x, F(x1,f(x1) y 由于x1∈(a,b)的任意性,这就证明了y=f(x)在(,b)上的可微性,及 导数公式。 当函数F(x,y)是q阶连续可微时,利用以上公式以及复合函数的 微分法可以继续对y=f(x)求导,直到q阶导数,且各阶导数都是连续 的,即∫(x)∈Cq(a,b).至此定理完全得证 注:对于存在性还有一种构造性的证明:压缩映像 ●先把求隐函数问题先把求隐函数问题看作方程求根: 给定x,由方程F(,y)=0求y 台求方程y-F(x,y)=y之根 台求函数o(y)=y--F(x,y)之不动点 构造迭代过程: 第四节隐函数微分法第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 首先证明 f (x) 在 x0 的连续性.   ，按上面证法中构造矩形 D : D = {( x, y) | a  x  b;c  y  d}U , 使得， ( )  ( − +  ) 0 0 c,d y , y , 这样，  =  − −  2 | | 0 b a x x , 必有,| f (x) − f (x0 )|  , 即 y = f (x) 在 x0 处连续. 对于 x (a,b) ，因点 (x, f (x)) 与 ( , ) 0 0 x y 满足同样的条件，即在 点 (x, f (x)) 满足隐函数定理的所有条件，因此同样地可以证明 y = f (x) 在点 x 的连续性. （3） y = f (x) 的可微性 ⚫ 任取 ( , ) 1 x  a b ，在对充分小的 x , 显然有 F(x1 + x, f (x1 + x)) = 0,F(x1 , f (x1 )) = 0 ; F(x1 + x, f (x1 + x))−F(x1 , f (x1 )) = 0, 由二元函数的 F(x, y) 可微性，有 ( ) ( )  + [ ( +  ) − ( )] + ( , ) ( , ) 1 1 1 1 1 1 f x x f x y F x f x x x F x f x     ( ) ( ) ( ) 1 1 1 + o x + o f x  0 上式两端同除以 x 得 (1) ( , ( )) (1) ( , ( )) ( ) ( ) 1 1 1 1 o y F x f x o x F x f v x f x x f x + + =  +  −     当 x → 0 时， y = f (x1 + x) − f (x1 ) → 0 ,注意到 0 ( , ( )) 1 1  y F x f x   ，由上式可得 y F x f x x F x f x f x     ( , ( )) ( , ( )) ( ) 1 1 1 1  1 = − 由于 x1(a,b) 的任意性，这就证明了 y = f (x) 在 (a,b) 上的可微性,及 导数公式。 当函数 F(x , y) 是 q 阶连续可微时，利用以上公式以及复合函数的 微分法可以继续对 y = f (x) 求导，直到 q 阶导数，且各阶导数都是连续 的，即 f (x) C (a,b) q  .至此定理完全得证. 注：对于存在性还有一种构造性的证明：压缩映像。 ⚫ 先把求隐函数问题先把求隐函数问题看作方程求根： 给定 x , 由方程 F(x, y) = 0 求 y  求方程 y − F(x, y) = y 1  之根  求函数 (y) y F(x, y) 1   = − 之不动点 ⚫ 构造迭代过程：