第二章多元函数微分法 oF(xo, yo) 则存在一个以x0为中心的区间(a,b)以及在(a,b)上定义的函数 y=f(x),满足 1.y。=f(x0)F(x,f(x)≡0(x∈(an,b) 2.f∈C(a,b); OF(,y) 3.Wr∈(nb)d(x) O F(x,y) 定理证明定理证明分三步进行 (1)隐函数的存在性 根据条件3,不妨设 OF(xo,yo) >0.由偏导数连续,存在一个以 (x0,y)为中心的矩形 D=i(x,yla<x<b c<y<dEU OF(x,y) V(x,y)∈D 因此,Vx∈(a,b),固定x后,F(x,y)作为y的一元函数,是 严格单调增加的 叉因F(x0,y)=0,及F(x0,y)aF(xd>0 对于y的严格单调性推出, 日E,>0,使得:yy-y<6 F(x,y<E,且 0,d)>0,F(x0,C)<0 Y F(c)<o 其中:c=y0-6,d=yo+6 再由F(x,y)的连续性可知 当x充分靠近xo时,即a>0,使得x:x-x<仍然有 F(x,d)>0,F(x,c)<0 利用连续函数的介值定理以及F(x,y)对于y的严格单调性可知, 在区间(c,d)中存在唯一的y,使得F(x,y)=0. 这样的y是由x∈(a,b)唯一确定的,因此就在(a,b)上定义了一个 函数y=f(x),这就是由方程F(x,y)=0确定的隐函数 由F(x,y)=0推出y。=f(x。).又根据函数y=f(x)的定义方式 可以推出F(x,f(x)≡0(x∈(a,b).结论1得证 值得提出的是,如此确定的隐函数y=f(x),其图形全部处于以为 (x,y)为中心的矩形D的之内。 (2)函数y=f(x)在(a,b)上的连续性 第四节隐函数微分法第二章 多元函数微分法 第四节 隐函数微分法 3. 0 ( , ) 0 0  y F x y   . 则存在一个以 x0 为中心的区间 (a,b) 以及在 (a,b) 上定义的函数 y = f (x)，满足 1. ( ), ( , ( )) 0 ( ( , )) y0 = f x0 F x f x  x a b ; 2. f C (a,b) q  ; 3. ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) , , y f x y F x y x F x y dx df x x a b =   = −     定理证明 定理证明分三步进行. （1）隐函数的存在性 ⚫ 根据条件 3，不妨设 0 ( , ) 0 0  y F x y   . 由偏导数连续，存在一个以 ( , ) 0 0 x y 为中心的矩形 D = {( x, y) | a  x  b;c  y  d}U ，  (x, y)  D , 0 ( , )  y F x y   . 因此,  x (a,b) ，固定 x 后, F(x , y) 作为 y 的一元函数, 是 严格单调增加的. ⚫ 叉因 ( , ) 0 0 0 F x y = ，及 ( , ) F x0 y 对于 y 的严格单调性推出,  ,  0,使得：  y − y0   F(x , y)   0 , 且 F(x0 ,d)  0,F(x0 ,c)  0, 其中： c = y0 − , d = y0 + 再由 F(x , y) 的连续性可知， 当 x 充分靠近 x 0 时, 即   0, 使得 x : x − x0  仍然有 F(x ,d)  0,F(x ,c)  0 ⚫ 利用连续函数的介值定理以及 F(x , y) 对于 y 的严格单调性可知， 在区间 (c, d ) 中存在唯一的 y ，使得 F(x , y) = 0. ⚫ 这样的 y 是由 x (a,b) 唯一确定的，因此就在 (a,b) 上定义了一个 函数 y = f (x) ，这就是由方程 F(x , y) = 0 确定的隐函数. 由 ( , ) 0 0 0 F x y = 推出 ( ) 0 0 y = f x .又根据函数 y = f (x) 的定义方式 可以推出 F(x, f (x))  0 (x (a,b)) . 结论 1 得证. ⚫ 值得提出的是，如此确定的隐函数 y = f (x) ，其图形全部处于以为 ( , ) 0 0 x y 为中心的矩形 D 的之内。 （2）函数 y = f (x) 在 (a,b) 上的连续性 d F(x,d)>0 F(x,y)=0 y0 F(x0,,y0)=0 F(x,c)<0 c a x0 b