第五章本构关系 前面几章我们导出了平衡方程和几何方程（位移和应变的关系），这是弹性理论中两组基 本方程，这两组方程与材料性质无关，适用于任何连续介质。其中共有15个未知量（三个位 移、六个应变分量、六个应力分量)和九个方程（三个平衡方程、六个几何方程），显然仅从这 两组方程是无法解出全部未知量的，因此必须寻找其它关系。实验和日常经验表明，不同材 料的承载能力是不同的，施加同样的力会产生不同的变形，显然物体内应力和应变是有联系 的，是材料本身固有的性质，称为本构关系。 热力学定律是自然界的最基本的规律之一，一切宏观系统都必须遵循。研究本构关系可 以从热力学定律出发，导出本构关系的基本形式，然后对不同对称性的材料，得到本构关系 的具体形式。 5.1热力学定律 热力学第一定律：单位体积内能的增加U等于外界传进的热量6Q与外界对它做的功 6A之和，即 6U=6Q+6A (5.1) 也称为能量守恒定律，能量不能无中生有，也不能有中生无，只能由一种形式转换成另一种 形式。 热力学第二定律：使热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化是不可能的。通俗 地说就是“水往低处流，热向冷处走。” 从热力学第二定律可以引出一个状态函数熵S,热力学第二定律定量表示可写为 ads≥Q (5.2) 现设孤立系统处于热力学平衡状态I,熵S,温度日，且这种平衡是稳定的。所谓平衡是稳 定的，是指系统从该状态向邻近的任一状态Ⅱ变化时，系统的熵应当不增，Ⅱ为稳定平衡 态邻近的状态，熵S+6S,于是当系统受外来扰动时，即从I向Ⅱ的方向进行时，过程进 行的方向与不等式(5.2)相反，即 0dS≤6Q=6U-T:d证 (5.3) 这就是物体每一个局部都达到热力学稳定平衡的条件，对可逆过程取等号。 >外力做的功 设弹性体V,其边界为V,应力场T(o),位移u,应变D(s),要求位移由u变到u+δu 时外力所做的功δK。 7.T+f=0 in nT=t on o V (5.4) u=ū onav1 第五章 本构关系 前面几章我们导出了平衡方程和几何方程(位移和应变的关系)，这是弹性理论中两组基 本方程，这两组方程与材料性质无关，适用于任何连续介质。其中共有 15 个未知量(三个位 移、六个应变分量、六个应力分量)和九个方程(三个平衡方程、六个几何方程)，显然仅从这 两组方程是无法解出全部未知量的，因此必须寻找其它关系。实验和日常经验表明，不同材 料的承载能力是不同的，施加同样的力会产生不同的变形，显然物体内应力和应变是有联系 的，是材料本身固有的性质，称为本构关系。 热力学定律是自然界的最基本的规律之一，一切宏观系统都必须遵循。研究本构关系可 以从热力学定律出发，导出本构关系的基本形式，然后对不同对称性的材料，得到本构关系 的具体形式。 5.1 热力学定律 热力学第一定律：单位体积内能的增加δU 等于外界传进的热量δQ 与外界对它做的功 δ A 之和，即 δUQA = δ δ + (5.1) 也称为能量守恒定律，能量不能无中生有，也不能有中生无，只能由一种形式转换成另一种 形式。 热力学第二定律：使热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化是不可能的。通俗 地说就是“水往低处流，热向冷处走。” 从热力学第二定律可以引出一个状态函数熵 S ，热力学第二定律定量表示可写为 θdS Q ≥ δ (5.2) 现设孤立系统处于热力学平衡状态 I，熵 S ，温度θ ，且这种平衡是稳定的。所谓平衡是稳 定的，是指系统从该状态向邻近的任一状态 II 变化时，系统的熵应当不增， II 为稳定平衡 态邻近的状态，熵 S S +δ ，于是当系统受外来扰动时，即从 I 向 II 的方向进行时，过程进 行的方向与不等式(5.2)相反，即 θdS Q U ≤ δδ δ = −T: Γ (5.3) 这就是物体每一个局部都达到热力学稳定平衡的条件，对可逆过程取等号。 ¾ 外力做的功 设弹性体V ，其边界为∂V ，应力场 ( ) T σ ij ，位移u ，应变 ( )ij Γ ε ，要求位移由u 变到u+ uδ 时外力所做的功δ K 。 0 in on on u V V V σ ⎧∇ += ⎪ ⎨ = ∂ ⎪ ∂ ⎩ T f T t u u i i = n (5.4)