200B-2009学年第一学有《线钱代我踢和束专线就卷(B枣)-3 六、(10分)设V为所有2阶实方阵对于矩阵的加法和数乘构成的线性空间。在V上定义T如 下：对任意A∈V, (11)12 T(4-01401 ()证明：T是V上的一个线性变换， 四r销-095-日小5-日8-0)F陈 (2)但分)已知7是非齐次线性方程组A红=b(b≠0)的一个解向量。乐，…，5，是其对应齐次 线性方程组A红=0的基础解系.证明：几，刀+，…，刀+乐是方程组A红=b解向量组的最 大线性无关组 七、0a:分》已么B分影为风n阶实裤，C-仁） 试证以下命题成立：(I) 若A,B均相似于对角阵，则C也相似于对角阵：（Ⅱ）若A,B均为正交阵，则C也是正交阵： (川)若A,B均为正定库，则C也是正定阵.2008-2009 学年第一学期《线性代数 B》期末考试试卷（B 卷）--3 六、(10 分)设V 为所有 2 阶实方阵对于矩阵的加法和数乘构成的线性空间，在V 上定义T 如 下：对任意 A V∈ ， 11 12 ( ) 01 01 TA A    =       ， (1) 证明： T 是V 上的一个线性变换， (2) 求T 在V 的基 11 12 21 22 10 01 00 00 ,,, 00 00 10 01 EEEE     =     = = =     下的矩阵. 七、(1) (12 分) 已知 A B, 分别为 m n, 阶实方阵， 0 0 A C B   =     ，试证以下命题成立：(Ⅰ) 若 A B, 均相似于对角阵，则C 也相似于对角阵；（Ⅱ)若 A B, 均为正交阵，则C 也是正交阵； （Ⅲ）若 A B, 均为正定阵，则C 也是正定阵. (2) (9 分) 已知η 是非齐次线性方程组 Ax b b = ≠ ( 0) 的一个解向量， 1, , s ξ ξ  是其对应齐次 线性方程组 Ax = 0的基础解系. 证明： 1 , , , ηη ξ η ξ + +  s 是方程组 Ax b = 解向量组的最 大线性无关组