1.6.多项式的因式分解 r+3r--r-3=原-8r2+102+2z-)-哥-5-9 9x Γ3 其中商式v--了余式a=名r-台- 【例1.2】设f(x)=x4-x3-4x2+4红+1，g(x)=x2-x-1,求f(x)除以g(x)的商式q(x)和 余式r(x) 【答案】q(x)=x2-3,r(x)=x-2. 1.6.2代数方程有理根的判别法 【定义1.14】我们把整系数多项式P(x)=0这种形式的方程叫做代数方程 当我们碰见一个高次方程(3次及以上)的时候，我们的第一想法是考察它是否存在有理 数解，当然同学们在高中学习过求导的办法，将解的范围缩小，然而由于有理数的稠密 性，导致我们仅利用分析的手段难以将解的范围缩小至有限多个.这时，我们就需要若干代 数学中的结论.事实上，考察有理根的问题即为考察该多项式在有理系数多项式环上是否可 约的问题.而利用Gauss(1777-1855)引理，问题又可以转化为整系数多项式环上的可约性问 题 下面讨论问题的过程中，我们总是设P(x)-∑a以x(an≠0). k=0 【定理1.15】设最简分数是P(x)=0的一个有理根，则plan,qao: 【证明】将该最简分数代入方程之后乘以知”通分立得， ▣ 由于满足上述定理的m和的个数是有限的，故这条结论将我们要寻找的有理根的范围 缩小到了有限多个.如果再结合导数等分析学的内容加以分析，必然会比较迅速地判断该代 数方程是否有有理根。 1.6.3其他可能需要的定理 由于证明所需知识超出数学分析的范畴，下面不加证明地给出一些定理： 【定理1.16】(x-xo)P(x)台P(xo)=0. 【定理1.17】（代数学基本定理）P(x)必有n个复数根，其中重根按照重数计算 代数学基本定理告诉我们：如果在复系数多项式环上对多项式作因式分解，必然可以 分解成个复系数一次多项式的乘积.但是如果对于任意一个实的多项式，我们能不能把它 全部分解成实系数一次多项式的乘积呢？答案是否定的：1.6. 多项式的因式分解 7 x 4 + 3x 3 − x 2 − 4x − 3 = (1 3 x − 1 9 )(3x 3 + 10x 2 + 2x − 3) − 5 9 x 2 − 25 9 x − 10 3 其中商式q(x) = 1 3 x − 1 9 ，余式r(x) = − 5 9 x 2 − 25 9 x − 10 3 . 【例1.2】设f(x) = x 4 − x 3 − 4x 2 + 4x + 1，g(x) = x 2 − x − 1，求f(x)除以g(x)的商式q(x)和 余式r(x). 【答案】q(x) = x 2 − 3，r(x) = x − 2. 1.6.2 代数方程有理根的判别法 【定义1.14】我们把整系数多项式P(x) = 0这种形式的方程叫做代数方程. 当我们碰见一个高次方程(3次及以上)的时候，我们的第一想法是考察它是否存在有理 数解，当然同学们在高中学习过求导的办法，将解的范围缩小，然而由于有理数的稠密 性，导致我们仅利用分析的手段难以将解的范围缩小至有限多个. 这时，我们就需要若干代 数学中的结论. 事实上，考察有理根的问题即为考察该多项式在有理系数多项式环上是否可 约的问题. 而利用Gauss(1777-1855)引理，问题又可以转化为整系数多项式环上的可约性问 题. 下面讨论问题的过程中，我们总是设P(x) = Xn k=0 akx k (an 6= 0). 【定理1.15】设最简分数 q p 是P(x) = 0的一个有理根，则p  an，q  a0. 【证明】将该最简分数代入方程之后乘以p n通分立得. 由于满足上述定理的m和n的个数是有限的，故这条结论将我们要寻找的有理根的范围 缩小到了有限多个. 如果再结合导数等分析学的内容加以分析，必然会比较迅速地判断该代 数方程是否有有理根. 1.6.3 其他可能需要的定理 由于证明所需知识超出数学分析的范畴，下面不加证明地给出一些定理： 【定理1.16】(x − x0)  P(x) ⇔ P(x0) = 0. 【定理1.17】(代数学基本定理)P(x)必有n个复数根，其中重根按照重数计算. 代数学基本定理告诉我们：如果在复系数多项式环上对多项式作因式分解，必然可以 分解成n个复系数一次多项式的乘积. 但是如果对于任意一个实的多项式，我们能不能把它 全部分解成实系数一次多项式的乘积呢？答案是否定的：