精品课程《数学分析》课外训练方案 得2x2+x=2y2+y=2x2+E x+y+==0 由(1)得2A(x2-y2)=(y-x),2(y2-2)=(=-y) 当x≠y≠二时得 2 故得x=2,代入(2)(3)式得 2x2+y 1解得稳定点P1( P2( 6√6√6 千2±1±1 ±1±1千2 由对称性得P3,4( ,)也是稳定点 6√6√y6 下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点。 、通过判别最值来求极值 注意约束集为单位圆,是有界闭集,故∫在其上必有最大(小)值,且最值必在稳定点达到。比较稳定 点的函数值: f(P)=f(P)=(P3)26′f(2)=f(P)=)=3 6√6 最大者为极大值,最小者为极小值 2、用无条件极值的充分性判别 令F=x2+y2+2-1,G=x+y+5,则(FG)=2y21=2y-)≠0(y≠),故在PP a(, 3) 点的某邻域,方程组x2+y2+z2=1,x+y+z=0可唯一地确定可微函数组y(x),z(x)。 方程组两边对x求导,得2x+2yy+2x2=0 再求导,得精品课程《数学分析》课外训练方案 7 得 λx + µx = λy + µy = λz + µz （1） 2 2 2 2 2 2 又 1 （2） 2 2 2 x + y + z = x + y + z = 0 （3） 由（1）得 2 ( ) ( ) ， 2 2 λ x − y = µ y − x 2 ( ) ( ) 2 2 λ y − z = µ z − y 当 x ≠ y ≠ z 时得 2λ(x + y) = −µ ， 2λ( y + z) = −µ 故得 x = z ，代入（2）（3）式得 2 1 2 2 x + y = 解得稳定点 ) 6 1 , 6 2 , 6 1 (1 − P ， ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 2 − − P 。 2x + y = 0 由对称性得 ) 6 1 , 6 1 , 6 2 ( 3,4 m ± ± P ， ) 6 2 , 6 1 , 6 1 ( 5,6 ± ± m P 也是稳定点。 下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点。 1、通过判别最值来求极值 注意约束集为单位圆，是有界闭集，故 在其上必有最大（小）值，且最值必在稳定点达到。比较稳定 点的函数值： f 6 6 2 ( ) ( ) ( ) 1 3 5 − f P = f P = f P = ， 6 6 2 ( ) ( ) ( ) f P2 = f P4 = f P6 = 最大者 3 6 1 为极大值，最小者 3 6 −1 为极小值。 2、用无条件极值的充分性判别 令 1， 2 2 2 F = x + y + z − G = x + y + z ，则 2( ) 1 1 2 2 ( , ) ( , ) y z y z y z F G = = − ∂ ∂ ≠ 0,( y ≠ z) ，故在 点的某邻域，方程组 可唯一地确定可微函数组 。 1 2 P ,P 1, 0 2 2 2 x + y + z = x + y + z = y(x),z(x) 方程组两边对 x 求导，得 2x + 2yy′ + 2zz′ = 0 1+ y′ + z′ = 0 再求导，得