初等代数研究 要使A三B,则必须使fx,g()在[，3]上的函数图像落在x轴下方，即有 [f0s0「a-1≤0 /3)s0 a+3s0→as-3 且有 「g0s0 -2b+6≤0→b23 1g6)s0P{14-66≤0 所以满足条件a,b的取值范围为a≤-3，b≥3。 几个重要不等式 (一)琴森(Jensen)不等式 定理1 设f(x)是区间[a,b]上的严格凸函数，对x,x2,xn∈[a,b] p,P2,.pn∈R*,且p+P2+.+Pn=l, 若f(x)是严格下凸函数，则有不等式 f(px+p2x3+.+Pnx)≤Pf(x)+P2f(x3)+.+Pnf(x方 若f(x)是严格上凸函数，则有不等式 f(px1+p2x2+.+Pnxn)≥Pf(x)+P2f(x2)+.+Pnf(xn) 当且仅当x=x2=.=x,时等号成立 推论 当B=p2==P=时 对Vx1,x2,.xm∈[a,b], 若f(x)是严格下凸函数，则有不等式 f(x++xn)sf(x)+f(x2)+.+f() 若f(x)是严格上凸函数，则有不等式 f(+++4)≥fx)+f(x2)++fx) n 当且仅当x=x=.三x是等号成立 初等代数研究 5 要使 A  B ，则必须使 f (x), g(x) 在 1,3 上的函数图像落在 x 轴下方，即有 ( ) ( )         − +  −     3 3 0 1 0 3 0 1 0 a a a f f 且有 ( ) ( )         −  − +     3 14 6 0 2 6 0 3 0 1 0 b b b g g 所以满足条件 a,b 的取值范围为 a  −3,b  3。 几个重要不等式 （一） 琴森（Jensen)不等式 . ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) , , 1 ( ) [ , ] , , [ , ] 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 当且仅当 时等号成立 若 是严格上凸函数，则有不等式 若 是严格下凸函数，则有不等式 ，且 ， 设 是区间 上的严格凸函数，对 ， n n n n n n n n n n n n x x x f p x p x p x p f x p f x p f x f x f p x p x p x p f x p f x p f x f x p p p R p p p f x a b x x x a b = = = + + +  + + + + + +  + + +   + + + =   +         定理1 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , [ , ] 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 当且仅当 是等号成立 若 是严格上凸函数，则有不等式 若 是严格下凸函数，则有不等式 对 ， 当 时 推论 n n n n n n n x x x n f x f x f x n x x x f f x n f x f x f x n x x x f f x x x x a b n p p p = = = + + +  + + + + + +  + + +   = = = =       