初等代数研究 (二)平均不等式 定理2若a,>0,i=l,2,.,n,n>l,k>l,n,k∈N A=a+4++g n Gn=a,a2.an n M= a+a2+.+an n a 则H,≤Gn≤A≤M 其中等号当且仅当a=,=.=a,时成立 证明： 当n=2时，由(Va,-Va)2≥0知4，≥G2 其中等号当且仅当a,=a,时成立 假定当n=时定理成立， 当n=k+时，要证A2G知 (Aka-GxXk+1) =a+a2+.+a+ak41-(k+1)yaa2.a4a ≥ka4.a+a1-(k+1aa,-aa k(k1)xy =x(x-y)-(x-y) =(x-yx+xy+.+x) =(x-y-+)+.+(x-y)]20 ∴A1≥Gk+成立 当a=42=.=a4+时等号成立 于是对n>1的一切正整数都成立 推论1 若a,>0,i=1,2,.,n, a+a,+.+an=5(定值) 则当a,=a2=.=a,时 a,a.an有最大值yms= n初等代数研究 6 （二）平均不等式 证明： 推论 1 . 1 1 1 2 0, 1,2, , , 1, 1, , 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 其中等号当且仅当 时成立 则 定理 若 n n n n k k k n k k k n n n n n n n i a a a H G A M n a a a M a a a n H G a a a n a a a A a i n n k n k N = = =    + + + = + + + = = + + + =  =           于是对 的一切正整数都成立 当 时等号成立 成立 当 时，要证 假定当 时定理成立， 其中等号当且仅当 时成立 当 时，由（ 知 令 1 ( )[ ( ) ( )] 0 ( )( ) ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( )( 1) 1 2 ) 0 , 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 ( 1) 1 2 1 1  = = =   = − − + − + + −  = − + + + − = − − − + − +  + − + = + + + + − + − + = +  = = = −   + + + − − − − − + + = = + + + + + + + + + + = + + + n a a a A G x y x y y x y y x y x y x x y x y k y x x y k y x y k y x k x y k a a a a k a a a a a a a a k a a a a A G k n k A G n k a a n a a A G k k k k k k k k k k k k k k k k k k x a y a a a k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k         n n n n i n s a a a y a a a a a a s a i n          = = = = + + + =  = 1 2 max 1 2 1 2 0, 1,2, , , 有最大值 则当 时 （定值） 若    