第八部分常微分方程第2页共16页 (c)-(e +e)-1 D)1--(ex+e-x) 答 注:根据题意,-f(x)cosy=[f(x)-ex]cosy,解得f(x)=ex+Cex。由 f(0)=0,得C 所以f(x)=(ex-e-x),即选项(B)正确 12.若函数y=cos2x是微分方程y+p(x)y=0的一个特解,则该方程满足初始条件 y(0)=2的特解为[] y=cos2x+2。 B)y=cos2x+1。 (C)y=2cosx y=2cos 2x 答D 注:根据解的结构,通解为y=Ccos2x,由y(0)=2得C=2。故选项①D)正确 其他选项经验证不满足方程或定解条件。 13.设函数y(x),y2(x)是微分方程y+p(x)y=0的两个不同特解,则该方程的通解为 (A)y=Cy+C2y2 (B)y=y+Cy2 (C)y=y1+C(y1+y2) (D)y=C(,-y) 注:因为y1(x),y2(x)是微分方程y+p(x)y=0的两个不同特解,所以y2-y是该 方程的一个非零特解。根据解的结构,其通解为y=C(y2-η),即选项ωD)正确。另:根 据通解定义,选项(A)中有两个任意常数,故其不对。当y2≡0时,选项(B)不对。当y2=-y 时,选项(C)不对。 14.已知函数y=y(x)在任意点x处的增量Ay=2x+(Ax)y(0)=z,则y()等于 (A)2丌。(B) (C)e4。(D)x 2第八部分 常微分方程 第 2 页 共 16 页 2 (A) ( ) 2 1 x x e − e − 。 (B) ( ) 2 1 x x e e − − 。 (C) ( ) 1 2 1 + − x −x e e 。 (D) ( ) 2 1 1 x x e e − − + 。 答 B 注：根据题意， f x y f x e y x − ( )cos = [ ( ) − ]cos ，解得 x x f x e Ce− = + 2 1 ( ) 。由 f (0) = 0 ，得 2 1 C = − ，所以 ( ) 2 1 ( ) x x f x e e − = − ，即选项(B)正确。 12．若函数 y = cos 2x 是微分方程 y  + p(x) y = 0 的一个特解，则该方程满足初始条件 y(0) = 2 的特解为[ ] (A) y = cos 2x + 2 。 (B) y = cos 2x +1。 (C) y = 2cos x。 (D) y = 2cos 2x 。 答 D 注：根据解的结构，通解为 y = C cos 2x ，由 y(0) = 2 得 C = 2 。故选项(D)正确。 其他选项经验证不满足方程或定解条件。 13．设函数 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是微分方程 y  + p(x) y = 0 的两个不同特解，则该方程的通解为 [ ] (A) 1 1 2 2 y = C y +C y 。 (B) 1 Cy2 y = y + 。 (C) ( ) 1 1 2 y = y +C y + y 。 (D) ( ) 2 1 y = C y − y 。 答 D 注：因为 ( ), ( ) 1 2 y x y x 是微分方程 y  + p(x) y = 0 的两个不同特解，所以 2 1 y − y 是该 方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为 ( ) 2 1 y = C y − y ，即选项(D)正确。另：根 据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当 y2  0 时，选项(B)不对。当 2 1 y = −y 时，选项(C)不对。 14．已知函数 y = y(x) 在任意点 x 处的增量 +  =  +   = ( ), (0) 1 2 o x y x y x y ，则 y(1) 等于 [ ] (A) 2 。 (B)  。 (C) 4  e 。 (D) 4  e