定理2首先用初等变换化特征矩阵A-A为对角形式,然后将主对角线上的 元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,则所有这些一次因式的方幂(相同的 按出现的次数计算)就是A的全部初等因子 证明设M-A已用初等变换化为对角型 h1(入) ha1(入) D(入)= han(入) 其中每个h(x)的最高项系数都为1,将h2(x)分解成互不相同的一次因式方幂的 乘积 ha(x)=(A-A1)21(A-A2)2…(A-A),1≤i≤m, 要证明的是,对于每个相同的一次因式的方幂(X-入)23,(-)=3,…,(-)), 1≤j≤n在D(的主对角线上按递升幂次排列后,得到的新对角矩阵D(入)与 D(入)等价.此时D(就是-A的标准型且所有不为1的(X-与)就是A 的所有初等因子 为方便起见,先对入-A1的方幂进行讨论,令 91(入)=(A-入2)(A-A3)23…(A-A)tt=1,2,…,n 于是h1()=(X-A1)9(),1≤i≤n,而且每个(A-A1)2都与9(入)( 1,2,…,m)互素.如果由相邻的一对指数e>ei+1,则在D(中将(A-A1)21 与(λ-λ)+1对调位置,而其余因式保持不动,根据引理 (A-入1)g:(入 0 A-A1)2+119+1(入) 与 (入-A1)“+19(入) (A-A1)=92+1() 价,从而D(入)与对角阵\^ 2 8%IHJ\I λI − A 0T&
￾xFRU0T |$ A8XG!$06
6l$J￾D :H#06
$6l (!$ $L) [ A $v%6W
e` } λI − A 28%IH0T% D(λ) =   h1(λ) h1(λ) . . . hn(λ)   rTi= hi(x) $Z;"/ 1, R hi(x) 8XG!$06
6l$ J hi(x) = (λ − λ1) ei1 (λ − λ2) ei2 · · ·(λ − λt) eit , 1 ≤ i ≤ n, -Ln$￾0<i=!$06
$6l (λ−λj ) e1j ,(λ−λj) e2j , · · · ,(λ−λj) enj , 1 ≤ j ≤ n C D(λ) $U0T |+~lqdF￾#"$$0T\I De(λ) > D(λ) %O
 De(λ) [ λI − A $ V%t : 1 $ (λ − λj ) eij [ A $ :%6W
6sP￾0 λ − λ1 $6lY'h￾f gi(λ) = (λ − λ2) ei2 (λ − λ3) ei3 · · ·(λ − λt) eit i = 1, 2, · · · , n. < hi(λ) = (λ − λ1) ei1 gi(λ), 1 ≤ i ≤ n, 2ti= (λ − λ1) ei1 /> gj (λ) (j = 1, 2, · · · , n) G
yC9!e$00Q ei1 > ei+11, DC D(λ) TR (λ − λ1) ei1 > (λ − λ1) ei+11 0,S￾2r=6
.￾?℄7`  (λ − λ1) ei1 gi(λ) 0 0 (λ − λ1) ei+11 gi+1(λ)  >  (λ − λ1) ei+11 gi(λ) 0 0 (λ − λ1) ei1 gi+1(λ)  %O￾2 D(λ) >0TI 4