《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 (2)1的方向余弦为 2-1 1 3 a2-护+2-护+0-而sg- 0c0sy=0. 因此，影而2品品 5 可微是方向导数存在的充分条件，但不必要。 二、梯度（陡度)： (一)、梯度的定义：gad=(∫(D),f,()，f(C))· I grad =(B)+(P)+.(B)) 易见，对可微函数∫，方向导数是梯度在该方向上的投影. (二)、梯度的几何意义：对可微函数，梯度方向是函数变化最快的方向· 这是因为 f(P)=gradf.I=I gradf(P)cos0. 其中0是1与ga(B)夹角.可见B=0时f(P)取最大值，在1的反方向取最 小值. (三)、梯度的运算： 1 grad (u+c)=grad u. 2 grad (au+Bv)a grad u+B grad v. 3 grad (uv)=u grad v+y grad u. A grad ugrady-vgradu 5 gradf(u)=f'(u)gradu. 正：4周-，（目” 2 2 m-w,m,-) =km,出小《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 3 （2） l 的方向余弦为 cos = 10 1 (2 1) ( 2 1) (1 1) 2 1 2 2 2 = − + − − + − − , cos  = 10 3 − , cos =0 . 因此 , l f   = 10 5 10 3 2 10 1 1 −  = − . 可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 . 二、 梯度 ( 陡度 ): （一）、梯度的定义: gradf = ( ( ) P0 f x , ( ) P0 f y , ( ) P0 f z ) . | gradf | = ( ) ( ) ( ) 2 0 2 0 2 0 f (P ) f (P ) f (P ) x + y + z . 易见 , 对可微函数 f , 方向导数是梯度在该方向上的投影. （二）、 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为 f l (P0 ) = gradf l = | ( ) | gradf P0 cos . 其中  是 l 与 ( ) gradf P0 夹角. 可见  = 0 时 ( ) P0 f l 取最大值 , 在 l 的反方向取最 小值 . （三）、梯度的运算: 1 grad (u + c) = grad u . 2 grad (  u +  v ) =  grad u +  grad v . 3 grad ( u v ) = u grad v + v grad u . 4 grad 2 u ugradv vgradu u v − = . 5 grad f ( u ) = f (u)gradu . 证: 4 2 u uv u v u v x x x −  =      , 2 u uv u v u v y y y −  =      . grad = ( − , − ) = 1 2 uv u v uv u v u u v x x y y = ( , ) − ( , ) = 1 2 uv u v u v u v u x y x y