《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 p=x-02+0y-1)2+e-1)2=2)2+-20)2+2=3. 因此，=典00-4- 0 (2)从点(1,1,1)到点(2，-2,1)的方向1的方向数为(1，-3,0,1方 向的射线为x=1+1,y=-31+1,:=1,(120) fP)=f1+1,-31+1,1)=9r2-51+3,fD)=f1,1,1)=3: p=Vx-2+0y-)2+(-1)2=P+(-302=10 因此， -品品 0 (二)、方向导数的计算： 定理：若函数∫在点B(x,为)可微，则∫在点卫处沿任一方向1的方向 导数都存在，且 f(R)-f()cosa+∫，(R)cosB+f(R)cosy, 其中cosa、cosB和cosy为1的方向余弦. （证）对二元函数fx,y),f(B)=()cosa+∫，(R)cosB,其 中α和B是1的方向角. 注：由f(C)=(P)cosa+f,(R)cosB+f(D,)cosy =(f(P),f(P),f(P)(cosa,cosB,cosy), 可见，f(D)为向量(f(P),f,(),(P))在方向1上的投影. 例2（上述例1) 解》1的方肉余孩为aE下号mA=-号 2 os7=3fB)=l,)=2=2,(B)=3z到✉=3. 因此，哥)cosa+)cs月+f)cosy号2（号）+3写号 2 《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 2 (x 1) ( y 1) (z 1) (2t) ( 2t) t 3t 2 2 2 2 2 2  = − + − + − = + − + = . 因此 , . 3 1 3 7 lim ( ) ( ) lim 3 2 0 0 0 0 = + + = − =   → + → + t f P f P t t t l f t P   （2） 从点 (1,1,1) 到点 ( 2 , − 2 ,1) 的方向 l 的方向数为 (1, − 3, 0 ), l 方 向的射线为 x = t +1, y = −3t +1, z = 1, ( t  0 ) . ( ) ( 1, 3 1,1) 9 5 3 2 f P = f t + − t + = t − t + , f (P0 ) = f (1,1,1) = 3 ; (x 1) ( y 1) (z 1) t ( 3t) 10t 2 2 2 2 2  = − + − + − = + − = . 因此 , . 10 5 10 9 5 lim ( ) ( ) lim 2 0 0 0 0 = − − = − =   → + → + t f P f P t t l f t P   （二）、 方向导数的计算: 定理: 若函数 f 在点 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 可微 , 则 f 在点 P0 处沿任一方向 l 的方向 导数都存在 , 且 f l (P0 ) = ( ) P0 f x cos + ( ) P0 f y cos  + ( ) P0 f z cos , 其中 cos 、cos  和 cos 为 l 的方向余弦. ( 证 ) 对二元函数 f (x, y) , f l (P0 ) = ( ) P0 f x cos + ( ) P0 f y cos  , 其 中  和  是 l 的方向角. 注: 由 f l (P0 ) = ( ) P0 f x cos + ( ) P0 f y cos  + ( ) P0 f z cos =( ( ) P0 f x , ( ) P0 f y , ( ) P0 f z ( cos , cos  , cos ), 可见 , ( ) P0 f l 为向量 ( ( ) P0 f x , ( ) P0 f y , ( ) P0 f z ) 在方向 l 上的投影. 例 2 ( 上述例 1 ) 解 （1） l 的方向余弦为 cos = 3 2 2 ( 2) 1 2 2 2 2 = + − + , cos  = 3 2 − , cos = 3 1 . ( ) P0 f x =1 , ( ) P0 f y = 2y y=1 = 2 , ( ) P0 f z =3 1 3 2 z z= = . 因此 , l f   = ( ) P0 f x cos + ( ) P0 f y cos  + ( ) P0 f z cos = 3 1 3 1 ) 3 3 2 2 ( 3 2 +  − +  =