《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 §3方向导数与梯度 教学目的掌握方向导数与梯度的定义，学会计算方向导数与梯度. 教学要求掌握方向导数与梯度的定义，掌握方向导数与梯度的计算。 教学建议 (①)适当介绍引入方向导数和梯度的意义（物理意义和计算方法上的意义）. (2)对学生强调方向导数存在性与偏导数存在性和可微性的区别与联系. 教学程序 一、方向导数： (一)、方向导数的定义： 定义设三元函数∫在点P(x,y。,o)的某邻域U(B)cR内有定义·1 为从点P。出发的射线·P(x,y,)为I上且含于U(D,)内的任一点，以p表示 P与P,两点间的距离·若极限 =-g p 存在，则称此极限为函数了在点R沿方向1的方向号数，记为引。政 f(P)、f(xoo,o). 对二元函数：=x,)在点P(x%),可仿此定义方向导数。 易见惑、哥和毫是三元通数了在点尺分别沿X轴正向、了验正肉和 Z轴正向的方向导数. 例1fx,y)=x+y2+:3.求f在点P(1,1,1)处沿1方向的方向导数， 其中(1)1为方向(2，-2,1)：(2)1为从点(1,1,1)到点(2，-2,1)的 方向. 解1)1为方向的射线为；==冬1心0.即 2-21 x=24+1,y=-21+1,2=1+1,(t20)·fB)=f(1,1,1)=3, f(P)=f(21+1,-21+1,1+1)=(21+1)+(-21+1)2+(1+1)3=13+712+1+3 1《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 1 §3 方向导数与梯度 教学目的 掌握方向导数与梯度的定义，学会计算方向导数与梯度． 教学要求 掌握方向导数与梯度的定义，掌握方向导数与梯度的计算． 教学建议 (1) 适当介绍引入方向导数和梯度的意义（物理意义和计算方法上的意义）． (2) 对学生强调方向导数存在性与偏导数存在性和可微性的区别与联系． 教学程序 一、 方向导数： （一）、方向导数的定义： 定义 设三元函数 f 在点 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 的某邻域 ( )  P0  3 R 内有定义 . l 为从点 P0 出发的射线 . P(x, y,z) 为 l 上且含于 ( )  P0 内的任一点 , 以  表示 P 与 P0 两点间的距离 . 若极限     f P f P f l = − → + → + 0 0 0 lim ( ) ( ) lim 存在 , 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的方向导数 , 记为 P0 l f   或 ( ) P0 f l 、 ( , , ) 0 0 0 f x y z l . 对二元函数 z = f (x, y) 在点 ( , ) 0 0 0 P x y , 可仿此定义方向导数 . 易见 x f   、 y f   和 z f   是三元函数 f 在点 P0 分别沿 X 轴正向、 Y 轴正向和 Z 轴正向的方向导数 . 例1 f (x, y,z) = 2 3 x + y + z . 求 f 在点 P0 (1,1,1) 处沿 l 方向的方向导数, 其中 （1） l 为方向 ( 2 , − 2 ,1) ; （2） l 为从点 (1,1,1) 到点 ( 2 , − 2 ,1) 的 方向. 解 （1） l 为方向的射线为 令 === − = − − = − 1 1 2 1 2 x 1 y z t (  0) . 即 x = 2t +1, y = −2t +1, z = t +1, ( t  0 ) . f (P0 ) = f (1,1,1) = 3 , ( ) ( 2 1 , 2 1, 1) ( 2 1) ( 2 1) ( 1) 7 3 2 3 3 2 f P = f t + − t + t + = t + + − t + + t + = t + t + t +