5六章定积分 推论:这时对区间可加性可推广:设∫∈Ra,b],Va,B,∈[a,b] f()dx=Lf(x)dx+g(x)dr 性质三:积分的不等式性质 设∫∈R[a,b]若f(x)≥0(a≤x≤b),则 f(x)dx≥0. 证明:直接来自极限的保不等式性质 注意若a>b则反号了 推论1:设∫∈R[a,b],g∈R[a,b],若f(x)≤g(xa≤x≤b),则 f(x)atx≤g(x)dr 推论2:设∫∈Cab],/(x)20但不恒为零则,则 f(xdx>0.(a<b) 推论3:设∫∈Ra,b]则fke[a,b],并且 f(x)d≤f(x)|d 证明:(1)证f∈刚ab]→团∈ab],要用到可积的充要条件, 将在微积分(中个绍。若有了的可积性这一结果,则 (2)因为f(x)≤|( 性质四:(估值定理设∫∈Ra,b]若m≤f(x)≤M,则 m(b-a)≤f(x)dr≤M(b-a) 证明:m(b-a)=∑mAx,≤∑f(5xs∑MAx,=M(b-a) 取极限得:m(b-a)≤[f(x)dt≤M(b-a) 性质五:积分中值定理设∫∈CIab则存在5∈[b]满足 af(x)dx=(b-a)f() 证明:f∈C[a,b→彐M=Maxf(x),m=Mmf(x), 第六章定积分第六章 定积分 第六章 定积分 推论：这时对区间可加性可推广：设 f  R[a, b], , , [a,b],    = +       f (x)dx f (x)dx g(x)dx 性质三：积分的不等式性质 设 f  R[a, b],若 f (x)  0(a  x  b),则 ( )  0  b a f x dx . 证明：直接来自极限的保不等式性质。 注意若 a  b 则反号了！ 推论 1：设 f  R[a, b], g  R[a,b], 若 f (x)  g(x)(a  x  b) , 则    b a b a f (x)dx g(x)dx 推论 2：设 f C[a,b], f (x)  0 但不恒为零,则, 则 ( )  0  b a f x dx . ( a  b ) 推论 3：设 f  R[a, b],则 | f | R[a,b],并且    b a b a f (x)dx | f (x) | dx . 证明：(1) 证 f  R[a,b] f  R[a,b], 要用到可积的充要条件，这 将在微积分(II)中介绍。若有了 f 的可积性这一结果, 则： (2).因为 f (x)  f (x) 性质四：(估值定理) 设 f  R[a, b],若 m  f (x)  M ,则 m(b a) f (x)dx M(b a) b a −   −  证明： ( ) ( ) ( ) 1 1 1 m b a m x f x M x M b a n i i n i i i n i − =   i       = − = = =  , 取极限得： m(b a) f (x)dx M(b a) b a −   −  . 性质五：积分中值定理: 设 f C[a, b],则存在  a,b,满足 f (x)dx (b a) f () b a = − . 证明： f C[a, b] ( ) , ( ) [ , ] [ , ] M Max f x m Min f x x a b x a b   = =