有意义，而亦称P为u与v的夹角。 特别地，当w=0时，就是说山，正交。显然，按此规定，零向量与任意向量均正交。 由此易知有下述二命题成立。 命避3设是欧氏空间的一个向量，那么V中所有与u正交的向量构成的一个子空间。 称之为的正交子空间。记为之。 命题4设S是欧氏空间的一个子空间，那么，中所有与S中每个向量均正交的向量构 成的一个子空间。称之为的正交子空间，记为9+ 因为欧氏空间的每个子空间在的内积下仍满足定义1中的四个条件，所以，欧氏空间 的子空间仍为欧氏空间。 以下若不特别声明总假设为维欧氏空间。而进行对有限维欧氏空间的讨论，先将第五 章§2定义3推广为 定义3欧氏空间中的向量组的，，“，4：说是正交的，如果该组中任意两个向量均正交。 规定只含一个向量的向量组是正交的。在一个正交向量组中，如果每个向量之长均为1，则 说这是一个标准正交组。 采用第五章§2命题1的同样证法有 命题5若正交组中不含零向量，则该组向量线性无关。 由此可见，中任意标准正交组必为线性无关的向量组，从而所含向量个数不能多于个。 特别地，若中有一个标准正交组合恰含n个向量，则其便构成的 个基底，而称之为标准 正交基底。 第五章节2，我们曾介绍了把一组线性无关的向量化成与之等价的标准正交向量组的方 法，即所谓Grame"一Schm8da正交化过程。这种方法也适用于一般的欧氏空间。因此， 我们有 定理3如果山2，“山是一个标准正交组，而3<n,则必有u∈上，使，山，…，4，仍 为标准正交组。 此由上一章§3定理4及上面的说明即知。 定义4设和U都是欧氏空间（不一定是有限维的）。如果有到U做为一般向量空间的 同构映射c,使对任意的，心∈匕，均有 有意义，而亦称 为 与 的夹角。 特别地，当 时，就是说 正交。显然，按此规定，零向量与任意向量均正交。 由此易知有下述二命题成立。 命题 3 设 是欧氏空间 的一个向量，那么 中所有与 正交的向量构成 的一个子空间。 称之为 的正交子空间。记为 。 命题 4 设 是欧氏空间 的一个子空间，那么， 中所有与 中每个向量均正交的向量构 成 的一个子空间。称之为 的正交子空间，记为 。 因为欧氏空间 的每个子空间在 的内积下仍满足定义 1 中的四个条件，所以，欧氏空间 的子空间仍为欧氏空间。 以下若不特别声明总假设 为 维欧氏空间。而进行对有限维欧氏空间的讨论，先将第五 章§2 定义 3 推广为 定义 3 欧氏空间中的向量组 说是正交的，如果该组中任意两个向量均正交。 规定只含一个向量的向量组是正交的。在一个正交向量组中，如果每个向量之长均为 1，则 说这是一个标准正交组。 采用第五章§2 命题 1 的同样证法有 命题 5 若正交组中不含零向量，则该组向量线性无关。 由此可见，中任意标准正交组必为线性无关的向量组，从而所含向量个数不能多于 个。 特别地，若 中有一个标准正交组合恰含 个向量，则其便构成 的一个基底，而称之为标准 正交基底。 第五章节 2，我们曾介绍了把一组线性无关的向量化成与之等价的标准正交向量组的方 法，即所谓 正交化过程。这种方法也适用于一般的欧氏空间。因此， 我们有 定理 3 如果 是一个标准正交组，而 ，则必有 ，使 仍 为标准正交组。 此由上一章§3 定理 4 及上面的说明即知。 定义 4 设 和 都是欧氏空间（不一定是有限维的）。如果有 到 做为一般向量空间的 同构映射 ，使对任意的 ，均有