o(u)o(吵=w 则说σ是欧氏空间V到U的同构映射。若有欧氏空间到U的同构映射存在，则称做为欧氏 空间与U同构 定理5在维欧氏空间的一个标准正交基下，规定每个向量对应它的坐标，则此对应 就是V到实数域上的n元列空间的一个同构映射。 证明由上章§3定理10，可知做为普通向量空间，这个对就是一个同构映射。 现在来看内积的对应。设，…n是的标准正交基底。任取山，v∈，设山，的坐标分别 为 由于49与=66=1,2，n）,即知 u,v=(a11+anen6+…bnOn)=a6+…anbn=a8 可见这个对应满足定义4中的条件，因此，它是欧氏空间到的同构映射。 推论两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。 事实上，做为向量空间，同构即已意味若维数相同。反之，若二欧氏空间，V的维数都 为，则二者均与同构，从而二者亦同构。 推论2在一标准正交基下，中任二向量的内积等于其坐标的内积。 推论3设，…0为的一标准正交基底，五，3a∈且 (f,…f)=(o,…n)G 则。"“，为标准正交组的充要条件是G的列构成%的一个标准正交组。则说 是欧氏空间 到 的同构映射。若有欧氏空间 到 的同构映射存在，则称做为欧氏 空间 与 同构。 定理 5 在 维欧氏空间 的一个标准正交基下，规定每个向量对应它的坐标，则此对应 就是 到实数域上的 元列空间 的一个同构映射。 证明 由上章§3 定理 10，可知做为普通向量空间，这个对就是一个同构映射。 现在来看内积的对应。设 是 的标准正交基底。任取 ，设 的坐标分别 为 由于 ，即知 可见这个对应满足定义 4 中的条件，因此，它是欧氏空间 到 的同构映射。 推论 1 两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。 事实上，做为向量空间，同构即已意味着维数相同。反之，若二欧氏空间 的维数都 为 ，则二者均与 同构，从而二者亦同构。 推论 2 在一标准正交基下， 中任二向量的内积等于其坐标的内积。 推论 3 设 为 的一标准正交基底， ，且 则 为标准正交组的充要条件是 的列构成 的一个标准正交组