推论4设1,9m为的一标准正交基底，i,",。∈且 (i,f=(o,…,nT 则，“，n为的标准正交基底的充要条件是T为正交矩阵。 定理6若山，“弘是欧氏空间（不限于有限维）的一组线性无关的向量，则必有正线 上三角矩阵π，使 (1,,ug）=(h,,4gπ， 而1，“，%是标准正交组。 证明设=[，“，山，则维U=3。再设1，“8：为的一标准正交基底。则有列满秩 矩阵G,使 (h,…,he）=(,…,a)G. 由第五章§2定理2知有正线上三角矩阵π使虹=Gπ为正交矩阵。用和右乘上式得 (,…,u)=(h,,hgπ=(01，…，)G=(e1,,8aT 由定理5推论4，，“…，是一标准正交组。证毕。 定理7设3是n维欧氏空间的一个子空间。那么，必有 V=3⊕31 证明若9={以，则31。若3=，则S={}。无论何种情况都有 V=8⊕81 下面设3是m维子空间0<m<,万，“，是3的一个标准正交基底。由定理3，可将 其扩充成的标准正交基底 推论 4 设 为 的一标准正交基底， ，且 则 为 的标准正交基底的充要条件是 为正交矩阵。 定理 6 若 是欧氏空间 （不限于有限维）的一组线性无关的向量，则必有正线 上三角矩阵 ，使 而 是标准正交组。 证明 设 ，则维 。再设 为 的一标准正交基底。则有列满秩 矩阵 ，使 由第五章§2 定理 2 知有正线上三角矩阵 使 为正交矩阵。用 右乘上式得 由定理 5 推论 4， 是一标准正交组。证毕。 定理 7 设 是 维欧氏空间 的一个子空间。那么，必有 证明 若 ，则 。若 ，则 。无论何种情况都有 下面设 是 维子空间 是 的一个标准正交基底。由定理 3，可将 其扩充成 的标准正交基底