由于 limD(x,y)=+∞ 可知函数D(xy)在驻点(815)有最小值 11.证明:圆的所有外切三角形中,以正三角形的面积为最小。 证设圆半径为1,外切三角形的两个顶角为2a与2B,则三角形的面 积为 S=cot a+cot B+cot(-a-B)=cot a+cot B+ tan(a+B) 由 2a+sec2(a+B)=0, dB -csc B+sec (a+B)=0 得到a=B=x-a-B,所以 =B 即外切正三角形的面积为最小 12.证明:圆的所有内接n边形中,以正n边形的面积为最大。 证设圆半径为1,圆内接n边形的各边所对的圆心角为 a4(k=12,…,n),则n边形的面积为 S=alsina, +sin a2 +.+sin am-1-sin(a, +a2 +.+an-I 由 =-[cosa1-cos(a1+a2+…+an-1)=0,(k=1,2,…,n-1) 推出 a1=a2=…=an1=2丌-(a1+a2+…+an1) 所以由于 |( , )| lim ( , ) x y D x y →∞ = +∞， 可知函数D x( , y)在驻点 8 16 ( , ) 5 5 有最小值。 11．证明：圆的所有外切三角形中，以正三角形的面积为最小。 证 设圆半径为1，外切三角形的两个顶角为2α 与2β ，则三角形的面 积为 cot cot cot( ) cot cot tan( ) 2 S π = + α β α + − − β = α + β + α + β 。 由 2 2 2 2 csc sec ( ) 0, csc sec ( ) 0, S S α α β α β α β β ⎧ ∂ = − + + = ⎪ ⎪∂ ⎨ ∂ ⎪ = − + + = ⎪⎩∂ ， 得到 2 π α = = β −α − β ，所以 6 π α = β = ， 即外切正三角形的面积为最小。 12．证明：圆的所有内接n边形中，以正n边形的面积为最大。 证 设圆半径为 1 ，圆内接 n 边形的各边所对的圆心 角 为 α k (k = 1,2,", n)，则n边形的面积为 [sin sin sin sin( )] 2 1 S = α1 + α 2 +"+ α n−1 − α1 +α 2 +"+α n−1 。 由 1 1 2 1 1 [cos cos( )] 0 2 n k S α α α α α − ∂ = − + + + ∂ " = ，(k = 1,2,", n −1)， 推出 1 2 1 1 2 1 2 ( n n α α α π α α α ) = =" " = − = − + + + − ， 所以 153