由 ay21-22-8 可知在驻点(0,-2)与(0,0)有H>0。 在(0-2)点,=1,因此a2=13>0,所以(02)为极小值点, 极小值为=1:在(0.)点,=-8,因此=-4<0,所以(0.为 极大值点,极大值为z 注1原方程可以改写为 2x2+2(y+2z)2=(z-17z+8 由左边非负可得(-1)7=+8)≥0,即≤-8或者z≥1 注2在三维空间中,方程的图像是双叶双曲面,由两个不相连 的部分组成。其中之一开口向上,最小值z=1,另一个开口向下,最 大值z 8 7 10.在Oy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,和x+2y-16=0 的距离的平方和最小。 解平面上点(x,y)到三直线的距离平方和为 D(x,y)=x2+y2+( x+2y-162 对xy求偏导数 D2=2x+=(x+2y-16)=0 D,=2y+=(x+2y-16)=0, 得到x=8,y=16,所以函数只有一个驻点(,16由 2 2 4 1 2 8 z x z y ∂ = ∂ − − ， 2 0 z x y ∂ = ∂ ∂ ， 2 2 4 1 2 8 z y z ∂ = ∂ − − y ， 可知在驻点(0,−2) 与 16 (0, ) 7 有H > 0。 在(0,−2) 点， z =1，因此 2 2 4 0 15 z x ∂ = > ∂ ，所以(0,−2) 为极小值点， 极小值为 z =1；在 16 (0, ) 7 点， 8 7 z = − ，因此 2 2 4 0 15 z x ∂ = − < ∂ ，所以 16 (0, ) 7 为 极大值点，极大值为 8 7 z = − 。 注 1 原方程可以改写为 2 2 2 2 x y + + ( 2z) = (z −1)(7z + 8) ， 由左边非负可得( 1 z z − + )(7 8) ≥ 0，即 8 7 z ≤ − 或者 z ≥1。 注 2 在三维空间中，方程的图像是双叶双曲面，由两个不相连 的部分组成。其中之一开口向上，最小值 z =1，另一个开口向下，最 大值 8 7 z = − 。 10．在Oxy平面上求一点，使它到三直线 x = 0，y = 0，和 的距离的平方和最小。 x + 2y −16 = 0 解 平面上点( , x y)到三直线的距离平方和为 2 2 2 16 ( , ) ( ) 5 x y D x yxy + − 2 = + + 。 对x, y求偏导数， 2 2 ( 2 16) 5 4 2 ( 2 16) 0, 5 x y D x x y D y x y ⎧ = + + − = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + + − = ⎪⎩ 0, ， 得到 8 1 , 5 5 x y = = 6 ，所以函数只有一个驻点 8 16 ( , ) 5 5 。 152