二个方程,得到H=1h,所以当B=H=力时,布料最省。 8.求由方程x2+2x+2y2=1所确定的隐函数y=y(x)的极值 解由 x+ y 0. x+2 得到x+y=0,再代入x2+2x+2y2=1得到y2=1,由此可知隐函数 y=y(x)的驻点为x=±1,且当x=±1时有y=1。 由于在驻点有 2y) 根据y"(±1)的符号可知y=y(x)在x=-1取极大值1,在x=1取极小值-1。 注本题也可由 2xy+2y2=(x+y)2+y2=1 得到-1≤y≤1,由此可知y=y(x)在x=-1取极大值1,在x=1取极小值 9.求由方程2x2+2y2+2+8yz-x+8=0所确定的隐函数z=x(x,y)的极 值 解由 ax1-2=-8 04(y+2=) ay1-2=-8 得到x=0与y+2z=0,再代入2x2+2y2+2+8yz-+8=0,得到 7=2+2-8=0即z7° 8 由此可知隐函数z=x(x,y)的驻点为0,-2)与二个方程，得到 1 2 H = h，所以当 5 1 2 R H h = = 时，布料最省。 8．求由方程 x 2 + 2xy + 2y 2 = 1所确定的隐函数 y = y(x)的极值。 解 由 0 2 ' = + + = − x y x y y , 得到 x + y = 0 , 再代入 x 2 + 2xy + 2y 2 = 1得到 y 2 = 1，由此可知隐函数 y = y(x)的驻点为 x = ±1，且当 x = ±1时有 y = ∓1。 由于在驻点有 2 1 ' ( ) 1 '' (1 2 ') 2 ( 2 ) y x y y y x y x y y + + = − + + = − + + ， 根据 y"(±1)的符号可知 y = y(x)在 x = −1取极大值1，在 x =1取极小值−1。 注 本题也可由 2 2 2 x x + + 2 2 y y = (x + y) + y =2 1 1 ， 得到− ≤1 y ≤ ，由此可知 y = y(x)在 x = −1取极大值1，在 取极小值 。 x =1 −1 9．求由方程 所确定的隐函数 的极 值。 2 2 8 8 0 2 2 2 x + y + z + yz − z + = z = z(x, y) 解 由 4 0 1 2 8 4( 2 ) 0 1 2 8 z x x z y z y z y z y ⎧∂ = = ⎪ ⎪∂ − − ⎨∂ + ⎪ = = ⎪⎩∂ − − , 得到 x = 0与 y + 2z = 0 , 再代入2x 2 + 2y 2 + z 2 + 8yz − z + 8 = 0，得到 7 8 0 2 z + z − = 即 8 1, 7 z = − 。由此可知隐函数 z z = ( , x y)的驻点为(0,−2) 与 16 (0, ) 7 。 151