21 +b=0 2 J=a+2b-=0 3 得到a=1b=-,即,-是唯一的驻点,所以必定是最小值点。因 此最佳直线为5=x-6° 6.在半径为R的圆上,求内接三角形的面积最大者。 解设圆内接三角形的各边所对的圆心角为a,a2a3,则三角形的面 积为 S=o[sin a, +sin a,+sina, ] =-[si in a, +sina -sin(a, +a 由第4题知a1=a2=2z=a1时面积最大,这时圆内接三角形为正三角 形, 7.要做一圆柱形帐幕,并给它加一个圆锥形的顶。问:在体积为定 值时,圆柱的半径R,高H,及圆锥的高h满足什么关系时,所用的 布料最省 解由帐幕的体积F=zR2H+1zRh,得到H=R3,于是帐幕的 表面积为 S=2zRH+RVR2+h2=2-2xM+R√R+n2。 R 对R与h求偏导数,得到 3√R2+h2 as 2V 2h +丌√R2+h2+ OR R 3 R2+h2 由第一个方程,得到R=5h,再将R=5h与F=xFH+1xR代入第2 1 0 3 2 2 2 0 3 a b J a b J a b ⎧ = − + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + − = ⎪⎩ ， 得到 1 1, 6 a b = = − ，即 1 1, 6 ⎛ ⎜ − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟是唯一的驻点，所以必定是最小值点。因 此最佳直线为 6 1 ξ = x − 。 6．在半径为R 的圆上，求内接三角形的面积最大者。 解 设圆内接三角形的各边所对的圆心角为 1 2 3 α , , α α ，则三角形的面 积为 2 2 1 2 3 1 2 1 [sin sin sin ] [sin sin sin( )] 2 2 R R S = + α α α + = α + α − α +α 2 ， 由第 4 题知 1 2 2 3 3 π α =α = =α 时面积最大，这时圆内接三角形为正三角 形， 2 max 4 3 3 S = R 。 7．要做一圆柱形帐幕，并给它加一个圆锥形的顶。问：在体积为定 值时，圆柱的半径R ，高H ，及圆锥的高 满足什么关系时，所用的 布料最省？ h 解 由帐幕的体积 2 1 3 V R = + π H π R2 h ，得到 2 1 3 V H h π R = − ，于是帐幕的 表面积为 2 2 2 2 2 2 3 V Rh S RH R R h R R h2 R π = + π π + = − +π + 。 对R 与h求偏导数，得到 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 3 2 2 0 3 S R Rh h R h S V h R R h R R R h π π π π π ⎧∂ = − + = ⎪ ⎪ ∂ + ⎨ ∂⎪ = − − + + + = ⎩ ⎪∂ + 。 由第一个方程，得到 5 2 R = h，再将 5 2 R = h与 2 1 3 V R = + π H π R2 h代入第 150