解得x=kx,y= cos kz-1,所以驻点为 kr, cos kn-1),k=0,±1,±2, 由fn=-(1+e")cosx,fn=-e'sinx,fn=e'cosx-(2+y)e",可知在 驻点(kz,cosk-1)处, H=cos k(l+e )e 所以当k为奇数时H<0,(kz, cos kT-1)不是极值点;当k为偶数时 H>0,再由f<0,可知(kz, cos kT-1)是极大值点。所以函数有无穷 多个极大值点,但无极小值点 4.求函数f(x,y)=sinx+siny-sin(x+y)在闭区域 D={(x,y)x≥0,y≥0,x+y≤2} 上的最大值与最小值 解由 f = cos x-cos(x+y)=0 f =cos y-cos(x+y)=0 得到cosx=cosy=cos(x+y)。在D={(x,y)|0<xy<x+y<2r}上考虑, 得到x=y=2y,0(3是函数在区域内部唯一的生点,由 于在区域边界上,即当x=0或y=0或x+y=2x时,有f(x,y)=0,而在 区域内部唯一的驻点上取值为(A20,根据闭区域上连续 函数的性质,可知函数的最大值为/=33,最小值为=0 5.在o上用怎样的直线ξ=ax+b来代替曲线y=x2,才能使它在平 方误差的积分 J(a, 6)= [(-分)d 为极小意义下的最佳近似 解(ab)=[(x2-ax-b)2dk a (a2-2b)+ab+b2 52 是ab的二次多项式,它的Hese矩阵3是正定的,所以有最小 值(见第1题(3)的注)。对参数a,b求导解得 x k = π , y = cos kπ −1，所以驻点为 ( , kπ cos kπ −1) ，k = 0,± ± 1, 2,"。 由 f xx = −(1+ ey ) cos x， sin y xy f = −e x， e cos (2 ) e y y yy f = −x + y ，可知在 驻点( , kπ cos kπ −1) 处， cos (1 ) y y H k = π + e e ， 所以当 k 为奇数时H < 0，( , k k π cos π −1) 不是极值点；当 k 为偶数时 H > 0，再由 0 xx f < ，可知( , k k π cos π −1) 是极大值点。所以函数有无穷 多个极大值点，但无极小值点。 4．求函数 f (x, y) = sin x + sin y − sin(x + y)在闭区域 D = {(x, y)| x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 2π} 上的最大值与最小值。 解 由 cos cos( ) 0 cos cos( ) 0 x y f x x y f y x y ⎧⎪ = − + = ⎨ ⎪ = − + = ⎩ ， 得到cos x = = cos y cos(x + y) 。在D = < {( , x y)| 0 x y, < x + y < 2π} D 上考虑， 得到 x = = y 2π − x − y ，即 2 2, 3 3 π π ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 是函数在区域内部唯一的驻点。由 于在区域边界上，即当 x = 0或 y = 0或 x y + = 2π 时，有 ，而在 区域内部唯一的驻点上取值为 f x( , y) = 0 2 2 3 3 ( , ) 3 3 2 f π π = > 0，根据闭区域上连续 函数的性质，可知函数的最大值为 2 3 3 fmax = ，最小值为 fmin = 0。 5．在[0,1]上用怎样的直线ξ = ax + b 来代替曲线 ，才能使它在平 方误差的积分 2 y = x ∫ = − 1 0 2 J (a,b) ( y ξ) dx 为极小意义下的最佳近似。 解 1 2 2 0 J a( ,b) = − (x ax −b) dx ∫ 1 1 2 2 ( 2 ) 523 a = − + a b − + ab + b 是a,b的二次多项式，它的 Hesse 矩阵 2 1 3 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎟ 是正定的，所以有最小 值（见第 1 题（3）的注）。对参数a,b求导， 149