可知函数在(,)点取极小值3b。 (6)先求驻点。由 f y 12 解得唯一的驻点2,2,2H。由于函数在2,2,2点的Hese矩阵 22-21是正定的,所以函数在(232)取极小值42 设f(x,y,)=x2+3y2+22-2x+2x,证明函数f的最小值为0 证先求驻点。由 f2=2x-2y+2z=0 f,=6y f 解得唯一驻点(0),由于函数在(00)点的Hese矩阵-260是 正定的,所以函数在(0,0,0)点取极小值f(0,0,0)=0。 注本题可使用配方法得到 f(x,y,z)=(x-2y)2+(x+2=)2+y2, 由此可知函数在(0,0,0)点取最小值f(0,0,0)=0 3.证明函数f(x,y)=(1+e”)cosx-ye有无穷多个极大值点,但无极小值 点 证由 f(x,y)=-1+e) x=0 f(x, y)=e cosx(+y)e'=0 148可知函数在( , ) 2 2 a b b a 点取极小值3ab。 （6）先求驻点。由 2 2 2 1 0 1 0 1 2 0 x y z y f x z f x y f y z ⎧ ⎪ = − = ⎪ ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎪ ⎪ = − = ⎩ ， 解得唯一的驻点 1 1 3 4 2 4 2 ,2 ,2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎝ ⎠⎟ 。由于函数在 1 1 3 4 2 4 2 ,2 ,2 ⎛ ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 点的 Hesse 矩阵 3 1 4 2 1 1 2 4 1 1 1 4 2 2 0 2 2 2 0 2 2 − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ − ⎟是正定的，所以函数在(2 ,2 ,2 ) 4 3 2 1 4 1 取极小值 1 4 4 2⋅ 。 2．设 f (x, y,z) = x 2 + 3y 2 + 2z 2 − 2xy + 2xz，证明函数 f 的最小值为0。 证 先求驻点。由 2 220 6 2 0 4 2 0 x y z f x y z f y x f z x ⎧ =−+ = ⎪ ⎨ = − = ⎪ ⎩ = + = ， 解得唯一驻点 ，由于函数在( 点的 Hesse 矩阵 是 正定的，所以函数在 点取极小值 (0,0,0) 0,0,0) 2 2 2 2 6 0 2 0 4 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (0,0,0) f (0,0,0) = 0。 注 本题可使用配方法得到 1 1 2 2 ( , , ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 1 2 2 f x y z = −x y + x + z + y ， 由此可知函数在(0,0,0)点取最小值 f (0,0,0) = 0。 3. 证明函数 有无穷多个极大值点，但无极小值 点。 y y f (x, y) = (1+ e )cos x − y e 证 由 ( , ) (1 e )sin 0 ( , ) e cos (1 ) e 0 y x y y y f x y x f x y x y ⎧⎪ = − + = ⎨ ⎪ = − + = ⎩ ， 148