2丌 即内接正n边形的面积为最大。 13.证明:当0<x<1,0<y<+∞时,成立不等式 yx(1-x) 证令f(x,y)=yx"(-x),对y求偏导, =x(1-x)(1+ylnx)=0 解得y=二1。对固定的x∈(01),根据弘在y=附近的符号变化 Inx 可知f(x,y)(作为y的函数)的极大值点为y 极大值为 (x)=-(1-x)。再对o(x)求导,得到 mInx q(x)= (1 -x+xIn x) ex ln-x g(x)=l-x+xInx, xE(O, 1) 则g(x)=lnx<0,g(0+)=1,g(1-)=0,所以g(x)>0,于是g(x)严格单调 增加。再由limg(x)=e-,得到 f(x,y)≤o(x)<e-(0<x<1,0<y<+∞)。 14.某养殖场饲养两种鱼,若甲种鱼放养x(万尾),乙种鱼放养y(万 尾),收获时两种鱼的收获量分别为 (3-ax-)x和(4-x-2a)y(a>B>0)。 求使产鱼总量最大的放养数 解鱼总产量为 =3-ax-By)x+(4-Bx-2ay)y=-ax-2Bxy-2ay+3x+4y o 对x,y求偏导数, By+3=0, =-2Bx-4ay+4=0, 解得2 k n π α = ，( 1 k n = , 2,", ) ， 即内接正n边形的面积为最大。 13．证明：当0 < x < 1, 0 < y < +∞ 时，成立不等式 1 (1 ) e− yx − x < y 。 证 令 f (x, y) = yx y (1− x) ，对 y 求偏导， (1 )(1 ln ) 0 y f x x y x y ∂ = − + = ∂ ， 解得 x y ln −1 = 。对固定的 x ∈ (0,1)，根据 f y ∂ ∂ 在 x y ln −1 = 附近的符号变化， 可知 f x( , y) （作为 y 的函数）的极大值点为 x y ln −1 = ，极大值为 e x x x ln (1 ) ( ) − − ϕ = 。再对ϕ(x)求导，得到 2 1 '( ) (1 ln ) ln x x x x ex x ϕ = − + 。 记 g x( ) = −1 x + x ln x, x ∈(0,1)， 则 g x'( ) = ln x < 0 ， g(0+ =) 1, g(1−) = 0，所以 g x( ) > 0 ，于是ϕ(x) 严格单调 增加。再由 1 1 lim ( ) x ϕ x e− → − = ，得到 1 f ( , x y) ϕ(x) e− ≤ < (0 < x < < 1, 0 y < +∞) 。 14．某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养 （万尾），乙种鱼放养 （万 尾），收获时两种鱼的收获量分别为 x y (3 −αx − βy)x 和 (4 − βx − 2αy) y （α > β > 0 ）。 求使产鱼总量最大的放养数。 解 鱼总产量为 2 2 P x = (3−α β − y)x + (4 − β x − 2α y) y = −αx −−+ 2β xy 2α y 3x + 4y 。 0, 0, 对x, y求偏导数， 2 2 3 2 4 4 x y P x y P x y α β β α ⎧⎪ = − − + = ⎨ ⎪ = − − + = ⎩ ， 解得 154