=√x+x+1-3mx+1+√x2+x+1)+C。 4) (x+2)da tx-x 11.设n次多项式p(x)=∑ax,系数满足关系∑,=0,证明不定 积分y是初等函数 证设 则 e d. k-1xk-1k-1 (k=2,3, 由此得到 k=qk-1(-)e2 dx(k=2,3,…,n) 其中q()是的k-1次多项式。当∑=0时,积分 l)! ∫pa=a+可一a+立%+甲 4c2+2(xy2 为初等函数= 2 2 3 1 1 ln( 1) 2 2 x + +x x − + + x + x + +C 。 （4） (x )dx x x + + − ∫ 2 5 2 = ∫ ∫ + − + + − + − − 2 2 2 2 5 5 5 (5 ) 2 1 x x dx x x d x x = 2 5 2 1 5 arcsin 2 21 x x x C − − + − + + 。 11． 设n次多项式 p x aix ,系数满足关系 i n i ( ) = = ∑ 0 ∑= = − n i i i a 1 0 ( 1)! ，证明不定 积分∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ e dx x p 1 x 是初等函数。 证 设 ∫ = e dx x I x k k 1 ，则 ∫ − − ∫ − − + − = − − = − e dx x k x e x k e d k I x k k x k x k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ， 1 1 1 1 ( 2,3, , 1 1 x k k e I k n) k x k = − − + − = − − " ， 由此得到 1 1 1 ( ) ( 2,3, , ) ( 1)! x x k k e I q e dx k x k x = + − = − ∫ " n ， 其中qk −1 (t) 是t的k −1次多项式。当∑= = − n i i i a 1 0 ( 1)! 时，积分 ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ e dx x p 1 x = 0 0 1 1 2 1 1 ( ) ( 1)! n n x x n x x x i i i i i i i i e e a a e a dx a e a q e dx x x i x − = = = + = + + − ∑ ∑ ∫ ∫ ∑ = 0 1 2 1 ( ) n x x i i i a e a q e C x − = + + ∑ 为初等函数。 185