§2.4有限覆盖定理与点集间的距离 是否每一个集合都有极限点呢? 定理2.4.1( Weierstrass聚点原理)设E为R"中有界无限集,则 E’≠中。 证明取互异点列M=(x1,x2,,xn)∈E,由于E有界,所以{Mk k=1,2,}有界,从而{x1|k=1,2,,.}是有界集,由数学分析中已证 明的直线上的聚点原理知:3x及x1的子列x→x1。这时M4满足第一个坐标 收敛,对于第二个坐标x2可能不收敛,但有界,由直线上的聚点原理知:彐x2 及x2的子列x2→x2,则M满足第一、第二坐标收敛。此过程继续作下去,第 n次找到的子列Mm便满足所有坐标都收敛,即Mm→M°。其中M0= x2,,xn),即M为E中的聚点。证毕 推论2.4.1有界点列必有收敛子列。 作为聚点原理的应用,可以证明著名的 Borel有限覆盖定理和距离可达定 定理2.4.2(Bore有限覆盖定理)设开集族{Ua|a∈I}是一有界闭集F 的覆盖,即 FSU Ua则在此开集族中存在有限个开集{|i=1,2,……,m}同样 覆盖F,即 U 引理2.4.1 Lindloff可列覆盖定理):设开集族{Ua|a∈I}(这里I 至少为可数集)是R”中一有界闭集F的覆盖,即 F=U Ua,则存在其中的可数 个开集同样覆盖F,即Fs∪U§２.4 有限覆盖定理与点集间的距离 是否每一个集合都有极限点呢？ 定理２.4.１ (Weierstrass 聚点原理) 设E为R n 中有界无限集，则 E'≠ф。 证明 取互异点列 M k ＝(x k 1 ，x k 2 ,...,x k n )∈E，由于 E 有界，所以｛M k ｜ k=1,2,...｝有界，从而｛x k 1 ｜k=1,2,...,...｝是有界集， 由数学分析中已证 明的直线上的聚点原理知：ョ x 0 1 及 x k 1 的子列 x i k 1 →x 0 1 。这时 M i k 满足第一个坐标 收敛，对于第二个坐标 x i k 2 可能不收敛，但有界，由直线上的聚点原理知：ョ x 0 2 及 x i k 2 的子列 x i k 2 →x 0 2 ，则 M i k 满足第一、第二坐标收敛。此过程继续作下去，第 n 次找到的子列 M ml 便满足所有坐标都收敛，即 M ml →M 0。其中 M 0＝ (x 0 1 ,x 0 2 ,...,x 0 n )，即 M 0为 E 中的聚点。 证毕 推论２.4.１ 有界点列必有收敛子列。 作为聚点原理的应用，可以证明著名的 Borel 有限覆盖定理和距离可达定 理。 定理２.4.２ (Borel有限覆盖定理) 设开集族{U α |α∈I}是一有界闭集 F 的覆盖，即 F⊆ U α∈I U α 则在此开集族中存在有限个开集{U α i |i=1,2,...,n}同样 覆盖 F，即 F ⊆ U n i=1 U α i 引理２.4.１ (Lindloff 可列覆盖定理)：设开集族{U α ｜α∈I}(这里 I 至少为可数集)是 R n 中一有界闭集 F 的覆盖，即 F⊆ U α∈I U α ，则存在其中的可数 个开集同样覆盖 F，即 F⊆ U ∞ i=1 U α i