证明对任意x∈F,存在Uax满足x∈Uax,而对Uax存在有理坐标点px, 及半径rx满足x∈U(px,rx)sUax(事实上,3δ>0,U(x,δ)sUax,取有 理坐标点px∈U(x,),<rx<即可),由定理1.2.6知:{U(px,rx)|px rx∈Q,x∈F}全体为至多可数集。从而可以简记为U,由U(px,rx)的选取方 法可知:存在相应的Ua满足UsUa,于是 U∈|」U 定理24.2的证明:即在已知FsUU的条件下证存在n满足 Fs∪U。若不然,则对任意n,存在x满足x"∈F∪U,由聚点原理知存 在x0及xn满足x"→x0(n→∞),又因为F是闭集所以x∈F,从而存在U满 足x0∈U,于是存在M,当n>M时有x"∈U;另一方面,对任意n>i0, xgUo,矛盾。 定理2.4.3(距离可达定理)设A、B为互不相交的非空闭集,且至少有 一个有界,则存在x0∈A,yo∈B使得d(x°,y0)=d(A,B)>0。 证明由集合距离的定义知:存在xn∈A,yn∈B使得 d(A,B)<d(xn,yn)<d(A,B)+-,不妨假定A有界由聚点原理知存在x0及x"满 足x号→x0∈A,因为d(x,y")<d(x0,x)十d(x吗,yn)<d(x0,x吗)+d(A,B) 1,所以这时(y}有界,又由聚点原理知存在y及y"满足y%→y0,于 是存在x∈A,y∈B使得d(x°,yo)≤d(A,B),d(x,y0)=d(A,B证明 对任意 x∈F，存在 U α x 满足 x∈U α x，而对 U α x 存在有理坐标点 p x ， 及半径 r x 满足 x∈U(p x ，r x ) ⊆ U α x(事实上，∃δ >0，U（x，δ ） ⊆ U α x,取有 理坐标点 p x ∈U（x， 3 δ ），3 δ < r x < 3 2δ 即可)，由定理１.２.６知：{U(p x ，r x )|p x ， r x ∈Q,x∈F}全体为至多可数集。从而可以简记为 U i ，由 U(p x ，r x ) 的选取方 法可知：存在相应的 U α i 满足 U i ⊆ U α i ,于是 F⊆ U ∞ i=1 U i ⊆ U ∞ i=1 U α i 定理２.4.２的证明：即在已知 F ⊆ U ∞ i=1 U i 的条件下证存在 n 满足 F⊆ U n i=1 U i 。若不然，则对任意 n，存在 x n 满足 x n ∈F-U ∞ i=1 U i ，由聚点原理知存 在 x 0及 x i n 满足 x i n →x 0 (n i →∞)，又因为 F 是闭集所以 x 0∈F，从而存在 U 0i 满 足 x 0∈U 0i ， 于是存在 M，当 n i ＞M 时有 x i n ∈U 0i ；另一方面，对任意 n i ＞i 0， x i n ∉U 0i , 矛盾。 定理２.4.３ (距离可达定理)设 A、B 为互不相交的非空闭集，且至少有 一个有界，则存在 x 0∈A，y 0∈B 使得 d(x 0 ,y 0 )＝d(A,B)＞0。 证明 由集合距离的定义知：存在 x n ∈A，y n ∈B 使得 d(A,B)＜d(x n ,y n )＜d(A,B)＋ n 1 ，不妨假定 A 有界由聚点原理知存在 x 0及 x i n 满 足 x i n →x 0∈A，因为 d(x 0 ,y i n )＜d(x 0 ,x i n )＋d(x i n ,y i n )＜d(x 0 ,x i n )＋d(A,B) ＋ ni 1 ， 所以这时{y i n }有界，又由聚点原理知存在 y 0及 y nij 满足 y nij →y 0， 于 是存在 x 0∈A，y 0∈B 使得 d(x 0 ,y 0 )≤d(A,B)，d(x 0 ,y 0 )＝d(A,B)