推论24.2设A为非空闭集,则对x∈R",3x0∈A满足d(x,A) 证明若x∈A,取x0=x∈A即可。若x∈A,令B={x}有界闭,由定理2 3.3即得。 定义2.4.1设A、BSR",若存在开集U,U满足U∩U=d,且AsU, BsU2,则称A、B是可隔离的 定理2.4.4(隔离性定理)A、B是可隔离的<=>A∩B=φ,A∩B=中 证明“=〉”反证:若不然,不妨假定彐x∈A∩B,由于A、B是可隔离 的,所以存在开集U,U2满足U∩U2=,且AsU,BsU2,由x∈B得 x0∈U2,而x0∈A,则存在点列xn∈AsU满足xn→x°,因为U2开,所以彐 N当n>N时x"∈U2与U∩U2=相矛盾,故A∩B=中,同理A∩B=中。 <=”因为A∩B=d,A∩B=中,所以由推论2.3.2知:对x∈A 有d(x,B)>0,Vy∈B有d(A,y)>0,于是令rx=d(x,B),ry=d(A,y), U=∪U(x,),U2=∪U(y,2)即可。显然U,U2是开集,且AsU, BsU2剩下的只须证:UnU2=中。若不然,彐z∈U∩U2,则3xo∈A,yo∈B d(z,x0)<,d(z,y)<,不妨设rx。=max{rx。,ry。},则rx d(x°,B)≤d(x°,yo)≤d(x0,z)+d(z,y0)<rx。,矛盾。 推论2.4.3若A、B均为闭集,且A∩B=中,则彐开集U,U2满足U∩U2 φ,且AU1,BU2推论２.4.２ 设 A 为非空闭集，则对∀ x∈R n ，ョ x 0∈A 满足 d(x,A)＝ d(x,x 0 ). 证明 若 x∈A，取 x 0＝x∈A 即可。若 x∈A，令 B=｛x｝有界闭，由定理２ . ３.３即得。 定义２.4.１ 设 A、B⊆ R n ，若存在开集 U1，U 2 满足 U1∩U 2 ＝ф，且 A⊆ U1， B⊆ U 2 ，则称 A、B 是可隔离的。 定理２.4.４ (隔离性定理) A、B 是可隔离的<＝> __ A ∩B＝ф, A∩ B ＝ф. 证明 “＝>”反证：若不然，不妨假定ョ x 0∈ __ A ∩B，由于 A、B 是可隔离 的，所以存在开集 U1，U 2 满足 U1∩U 2 ＝ф，且 A⊆ U1，B⊆ U 2 ，由 x 0∈B 得 x 0∈U 2 ，而 x 0∈ __ A ，则存在点列 x n ∈A⊆ U1满足 x n →x 0，因为 U 2 开，所以ョ N 当 n＞N 时 x n ∈U 2 与 U1∩U 2 ＝ф 相矛盾，故 __ A ∩B＝ф,同理 A∩ B ＝ф。 “<＝”因为 A∩ B ＝ф， A ∩B＝ф，所以由推论２.３.２知：对∀ x∈A 有 d(x, B )＞0，∀ y∈B 有 d( __ A ,y)＞0，于是令 r x ＝d(x, B )，r y ＝d( __ A ,y)， U1＝ U x∈A U(x, 2 x r )，U 2 ＝ U y∈B U(y, 2 y r )即可。显然 U1，U 2 是开集，且 A⊆ U1， B⊆ U 2 剩下的只须证：U1∩U 2 ＝ф。若不然，ョ z∈U1∩U 2 ，则ョ x 0∈A，y 0∈B d(z,x 0 )＜ 2 0 x r ，d(z,y 0 )＜ 2 0 y r ，不妨设 r x 。＝max｛r x 。,r y 。｝，则 r x 。＝ d(x 0 , _ B )≤d(x 0 ,y 0 )≤d(x 0 ,z)＋d(z,y 0 )＜r x 。，矛盾。 推论２.4.３ 若 A、B 均为闭集，且 A∩B＝φ，则ョ开集 U1，U 2 满足 U1∩U 2 ＝φ，且 A⊆ U1，B⊆ U 2