第79讲多元函数的极值 329 12Q1+18Q2-221-Q1Q2-2Q2,现求L的极大值,令 12-4Q1-Q2=0 a 18-Q1-4Q2=0 解得驻点Q1=2,Q2=4 由于总利润的最大值必存在,且在定义域Q1≥0,Q2≥0内有惟一的驻点,所以,(2,4 点处的函数值为最大值于是,安排生产时,甲种机床生产2件,乙种机床生产4件即可获得 最大的总利润最大利润为L=48万元 例10某厂生产的一种产品同时在两个市场销售售价分别为p1和p2,销售量分别为 q1和q2,需求函数分别为q1=24-0.2P1,q2=10-0.052,总成本函数为C=35+40(q1 +q2),问厂家如何确定两个市场的售价,才能使获得的总利润最大,最大总利润为多少? 解总收人函数为 R=p1(1+p292=241-0.2p2+102-0.05p, 总利润函数为 L=R-C=321-0.2-0.052-1395+12p2, a 32-0.41=0, 由极值的必要条件,得方程组 aLl 212-0.1p2=0. 解此方程组得惟一的驻点p1=80,p2=120 由问题的实际含义知,当1=80,p2=120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利 润为De180P2-120=605 例11某养殖场饲养两种鱼,若甲种鱼放养x(万尾),乙种鱼放养y(万尾),收获时两 种鱼的收获量分别为(3-ax-By)x和(4-Bx-2ay)y(a>B>0),求使产鱼总量最大 的放养数 解设产鱼总量为z,则z=3x+4y-ax2-2ay2-2xy az 3-2ax-2y=0 由极值的必要条件,得方程组 4-4ay-2Rx=0. 由于a>B>0,知方程组的系数行列式△=4(2a2-B2)>0,故方程组有惟一解 2=3 4a-36 2(2a2-B2) 再求z的二阶偏导数在(x0,y)点的值 2a,B=、孑z dray 2P, C 由AC-B2=8a2-42=4(2a2-P2)>0且A<0可知,z在(x,y)处有极大值, 即最大值故x0,y8分别为所求