328 高等数学重点难点100讲 例8求旋转椭球面x2+y2+4=1在第一卦限部分上的一点,使该点处的切平面在 三个坐标轴上的截距的平方和最小 解设M0(x0,y,z)为椭球在第一卦限部分上的一点,记 FO )=x2+y+2 n={F,F",F,}M={2x,2y 2 则 =}2x0,2 2 从而在M。点的切平面方程为 2x(x-x0)+2y(y-y)+元z0(z-z0)=0, 即 x0x+%y+432=1(x+y+45=1), 改写成截距式,即为 了+4=1 至此我们的问题归结为求函数f(x,y,z)=++9在条件g +y2 +1z2-1=0(x>0,y>0,x>0)下的最小值,考虑函数 F(x,y,2)=f(x,y,x)+(x,y,2)=x2+y+2+x+y2+4-1), +2Ax=0 9.1) +2xy=0 (79.2) 0 求解方程组 即 0 32,A g(x,y,z)=0 +y2+ 1=0 由力程(020019--大,代人方程(704得=16.又x> 0,y>0,z>0,所以x=2,y=2,z=√2,这是在x>0,y>0,x>0内惟一可能的 极值点由实际问题本身可知,最小值一定存在,所以这个可能的极值点就是最小值点,即在 点(2,2,√2)处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小 四、极值在经济阿题中的应用 在经济问题中,经常要讨论在一定的条件下,利润最大或成本最小的问题,即寻求最优 方案的问题,现举例如下 例9某工厂生产甲、乙两种机床,其销售价格分别为户1=12万元,户2=18万元,总成 本是两种机床产量Q1和Q2的函数C=2Q+Q1Q2+2Q2,求使总利润最大的生产水平(即 两种机床的产量) 解该厂的收入函数为R=p1Q1+p22,所以,工厂的利润函数为L=R-C=