第79讲多元函数的极值 327 助函数 F(r,y, a, t)= f(x,y, e,t)+Ap(r, y,2,t)+ a2p(r, y, z, t) 其中A1与λ均为常数对x,y,zt求一阶偏导数并令其等于0,再与两个附加条件联立,解出 的x,y,z就是函数f(x,y,z,t)在附加条件以x,y,z,t)=0,收x,y,z,)=0下的可能极值 点 求得的可能极值点是否是函数的极值点,可由实际问题本身的性质来确定 例6在曲线x2+4y2=4上求一点使其到直线2x+3y-6=0的距离最短,并求 最短距离 解设P(x,y)为椭圆上任一点,则P到直线2x+3y-6=0的距离为d 2x+3y-61,求d的最小值点即相当求的最小值点同时注意到本题的限制条件是点 13 必须在已给椭圆上,所以问题的实质是求函数(x,y)=d2=(2x+3y-6)2在约束条 件g(x,y)=x2+4y2-4=0下的极值·为此作辅助函数 (2x+3y-6)2+A(x2+4y2-4) 由方程组 (2x+3y-6)+2Ax=0 I, y 2x+3y-6)+8y=0 4 解得可能极值点为P5和h2(8_3 ).又d|p.= 由问题的 83 实际意义知最短距离存在,因此P5)即为椭圆上到直线距离最近的点最短距离为 例7在半径为R的半球内,求一个体积最大的内接长方体 解设半球面方程为x2+y2+x2=a2(z≥0)(x,y,z)是它的内接长方体在第一卦 限内的顶点,则该内接长方体的长、宽、高分别为2x,2y,z,体积为 V=2x·2y·z=4xyz 又(x,y,z)在半球面上,故满足附加条件x2+y2+z2-a2=0,作辅助函数 F(x,y, z)=4ryz +a(x2+y2+z2-a2) F,(,y, z)= 4yz 2l=0, yz+ ar =0, 由方程组Fy(x,y,z)=4x2+2y=0,即 2xz ay=o F,(x,y,z)=4xy+2x=0 2ry+dz=o 解得x=y=x=-2:代人x+y+x2=a,解得=3,从而来得(x,y2) 为惟一驻点由题意知,内接长方体必有最大体积所以当内接长方体的 长、宽、高分别为 时,体积最大