326 高等数学重点难点100讲 离平方之和最小 解设所求的点的坐标为(x,y),则该点到直线x=0的距离为|x|,到直线y=0的 距离为|y1,到直线x+2y-16=0的距离为x+2y=161,于是点(x,y到三条直线距 1+2 离平方之和为 z=x2+y2+x+2y-16)2 az az=2x+5(x+2y-16)=0, x+y-8=0 由 (az= 2y 即 5(x+2y-16)=0 x+9y-32=0 解得x= 16(8 y ,6是惟一的驻点根据实际问题的性质可知,到三条直线距离平 方之和最小的点一定存在故8,。即为所求的点 例5把正数a分成三个正数之和,使它们的乘积最大,并用此结果证明:xyz≤ x+y+2(x>0,y>0,z>0 解设分成的三个正数为x,y,z,则x+y+z=a,即要求u=xy=xy(a-x )的最大值 u'r=ay-2 0 解方程组 求得惟一驻点为 代入 at- Zxy a,得x=y=x= 由问题的性质可知,乘积的最大值存在故当x=y=2=5时,乘 积u 最大 由于xy的最大值为27,故有xy≤2,即y≤3=++5,且等号仅当x= y=z时成立. 三、条件极值、拉格朗日乘数法 讨论极值问题时,若对函数的自变量,除了限制在函数的定义域内之外,再无其他条件 限制,则称为无条件的极值;若还需对自变量附加其他约束条件,则称为条件极值求条件极 值通常采用下面的拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法 要求函数z=f(x,y)在条件g(x,y)=0下的极值,先构造一个辅助函数 F(x, y)=f(r, y)+ o(r, y) 其中λ为某一常数.对x,y求一阶偏导数,得方程组 f:(x,y)+2(x,y)=0, f(x,y)+焖(x,y)=0, °y 解出x,y,λ,则x,y就是函数f(x,y)在附加条件g(x,y)=0下可能极值点的坐标 当自变量多于两个而附加条件多于一个时,可完全类似地求条件极值.例如,要求函数 =了(x,y,z,t)在附加条件叭(x,y,z,t)=0和φ=(x,y,z,t)=0下的极值,可先构造辅