第79讲多元函数的极值 325 解=4x2-2(x+y)=0,→x3=y 0 f,=4y3-2(x+y)=0 y 即得驻点P1(-1,-1),P2(0,0),P3(1,1),又: A=fm=12x2-2,B=m 2,C=fy=12 2 B2-AC|n=(-2)2-10·10=-96<0,且A|n>0,故f(-1,-1)=-2是 极小值. B2-ACl12=0,故P2(O,0)点的极值情况无法由二阶导数的充分性定理判别,由于 f(x,y)=x4+y4-(x+y)2,则在(0,0)的任一邻域x2+y2<02<1内,取(e,-e),得 f(e,-e)=2e>0,而f(e,e)=2e-42=2e(e-√2)(e+√2),由0<∈<1知 f(e,e)<0,故f(0,0)=0不是极值 B2-AC P3 96<0,且A|P>0,故f(1,1)=-2也是极小值 最后指出,如果函数在讨论的区域内具有偏导数,则由极值存在的必要条件可知,极值 只可能在驻点取得,然而,若函数在个别点的偏导数不存在这些点当然不是驻点,但也可能 是极值点例如,函数f(x,y)=√x2+y2在点(0,0)处的偏导数不存在,但f(x,y)在(0, 0)点却具有极小值0.因此,在讨论二元函数的极值问题时,除了考虑函数的驻点外,如果有 偏导数不存在的点,则对这些点也应当讨论,这与一元函数的情形类似 、函数的最大值和最小值 我们已经知道,如果函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,则∫(x,y)在D上必定能取 得最大值和最小值,使函数取得最大值或最小值的点可能在D的内部,也可能在D的边界 上,如果函数的最大值或最小值在区域D的内部,f(x,y)在D内有偏导数,则最大值点或最 小值点必在驻点之中 求函数的最大值和最小值的一般方法: (1)将函数f(x,y)在D内的所有驻点处的函数值与在D的边界上的最大值和最小值 相比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值 (2)在实际问题中,若函数的最大值或最小值是存在的,而函数在D内又只有惟一的驻 点则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x,y)在D上的最大值或最小值 例3求函数z=x3-3x2-3y2在区域D:x2+y2≤16上的最大值和最小值 解先求区域D内的驻点,解方程组 6x=0 6y=0 得驻点为(0,0),(2,0).再求区域D的边界上的可能最大值点将D的边界线方程x2+y2 16代人函数z=x3-3x2-3y2,得z=x3-3(x2+y2)=x2-48(-4≤x≤4),由 z=3x2=0得一元函数z=x3-48在[-4,4]内部的驻点为x=0.当x=0时,y=士 4x=±4时,y=0,所以函数z 3x2-3y2在D的边界线上可能的最大值点为(0, 4),(0,-4),(4,0),(一4,0). 求出以上各点的函数值:z(0,0)=0,z(2,0)=-4,z(0,4)=-48,z(0,-4) 48,z(4,0)=16,z(-4,0)=-112 由此可见函数z=x3-3x2-3y2在点(4,0)处取得最大值16;在点(-4,0)处取得 最小值一112 例4在xOy平面上求一点,使它到三条直线x=0,y=0及x+23y-16=0的距