324 高等数学重点难点100讲 第79讲多元函数的极值 、多元函数的极值 1定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y)的某邻域内有定义,若对于该邻域内异于点(x,y)的 任何点(x,y),都有f(x,y)<f(x0,y)(或∫(x,y)>f(x0,y)),则称该函数在点(x0,y) 处取得极大值(或极小值)f(x0,y),极大值和极小值统称为极值使函数取得极值的点称为 极值点 与一元函数极值的定义类似,二元函数的极值也是一个局部的概念若f(x0,y)是函 数f(x,y)的一个极大值,只是就(x0,y)附近的一个局部范围来说,f(x,y)是f(x,y)的 一个极大值,而在∫(x,y)的整个定义域内不见得是最大值.关于极小值也有类似的结论 二元函数极值的定义可完全类似地推广到n元函数 2.二元函数极值存在的条件 必要条件设函数z=f(x,y)在点(xo,y)处具有偏导数,且在点(x0,y0)处有极值, 则它在该点的两个偏导数必为零:f:(x0y)=0,f(x0,y)=0 类似地,若三元函数a=f(x,y,z)在点(x0,y,20)具有偏导数,则它在点(x 有极值的必要条件为f(x0y,x0)=0,f(x0,yo,)=0,f(xy,)=y,z)具 使fx(x,y)=0,f(x,y)=0同时成立的点(x,y0)称为函数z=f(x,y)的驻点显 然,具有偏导数的函数的极值点必是驻点,但是,驻点不一定是极值点 充分条件设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导 数,又fx(x0,y)=0,f(x0,y)=0,令 (xo, yo)=A, f(o, yo)=B, f( 则f(x,y)在(xo,y)处是否取得极值的条件为: (1)AC-B2>0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值; (2)AC-B2<0时没有极值; (3)AC一B2=0时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论 3.二元函数极值的求法 具有二阶连续偏导数的函数z=f(x,y)的极值求法如下: (1)解方程组f(x,y)=0,”(x,y)=0,求得一切实数解,即可求得驻点; (2)对每一个驻点(x0,y),求出二阶偏导数的值A、B、C; (3)确定AC一B2的符号.当AC-B2>0时,函数z=f(x,y)有极值,A<0时有极 大值,A>0时有极小值;当AC-B<0时,函数z=f(x,y)没有极值 例1若函数f(x,y)=2x2-ax-xy2-2y在(1,-1)点取得极值,求a 解具有偏导数的函数的极值点必为驻点,故(1,-1)是方程组 (x,y)=4x-a-y2=0, (x,y)=-2xy-2=0 的解.代人得4-a-(-1)2=0,由此得a=3. 例2求函数f(x,y)=x4+v-(x+y)2的极值