第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 教学目的：了解连续函数的和、差、积及商的连续性，了解反函数与复合函数的 连续性和初等函数的连续性，并会应用这些性质， 教学重点：连续函数的和、差、积及商的连续性，反函数与复合函数的连续性和 初等函数的连续性 教学难点：利用反函数与复合函数的连续性和初等函数的连续性 教学过程： 一、连续函数的和、差、积及商的连续性 由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，立即可以得出下面的定理。 定理1若函数∫x),g(x)都在点连续，则函数 也在点x连续。 我们仅证明fx)±gx)在点连续。 设Fx)=fx)土gx) 由式(15)及函数在点飞连续的定义，有 limF()=lim/x)±gxj=im/)±lim8x)=fo)±8()=F() 这就证明了函数fx)±gx)在点x连续 类似可正0g,《得cr0在直%港线 例1因为amx=，c0x=0,由上节例2知smxc0sx都在(-0+四)内连线， 所以anx,cotx在它们的定义域内连续。 二、反函数与复合函数的违续性 下面仅给出关于反函数与复合函数的连续性的定理，证明从略。 定理2如果函数y=f(x)在区间1，上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函 数x=)也在对应的区间,={yy=fx),x∈}上单调增加（或单调减少）且连续。 例2由于y=smx在闭区间-受孕上单调增加且连续，所以它的反函数y=心nx在 闭区间-1，上单调增加且连续。 同理， =arccos在闭区间-L】上单调减少且连续： 产arctan在区间（一 +网)上单调增 加且连续：y=arccot在区间(-，∞)上单调减少且连续。即反三角函数在它们的定义域 内连续。 定理3设函数u=p(x)在点x=连续，且()=4，而函数y=∫(u)在点u=M连 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 教学目的：了解连续函数的和、差、积及商的连续性，了解反函数与复合函数的 连续性和初等函数的连续性，并会应用这些性质。 教学重点：连续函数的和、差、积及商的连续性，反函数与复合函数的连续性和 初等函数的连续性 教学难点：利用反函数与复合函数的连续性和初等函数的连续性 教学过程： 一、连续函数的和、差、积及商的连续性 由函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则，立即可以得出下面的定理。 定理 1 若函数 f x g x ( ), ( ) 都在点 0 x 连续，则函数 f x g x ( ) ( )  ， f x g x ( ) ( )  ， 0 ( ) ( ( ) 0) ( ) f x g x g x  也在点 0 x 连续。 我们仅证明 f x g x ( ) ( )  在点 0 x 连续。 设 F x f x g x ( ) ( ) ( ) =  由式(1-5)及函数在点 0 x 连续的定义，有 0 0 0 0 0 0 0 lim ( ) lim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x F x f x g x f x g x f x g x F x → → → → =  =  =  = 这就证明了函数 f x g x ( ) ( )  在点 0 x 连续。 类似可证 f x g x ( ) ( )  ， 0 ( ) ( ( ) 0) ( ) f x g x g x  在点 0 x 连续。 例 1 因为 sin tan cos x x x = ， cos cot sin x x x = ，由上节例 2 知 sin ,cos x x 都在 ( , ) − + 内连续， 所以 tan ,cot x x 在它们的定义域内连续。 二、反函数与复合函数的连续性 下面仅给出关于反函数与复合函数的连续性的定理，证明从略。 定理 2 如果函数 y f x = ( ) 在区间 x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函 数 1 x f y( ) − = 也在对应的区间 { | ( ), } y x I y y f x x I = =  上单调增加（或单调减少）且连续。 例 2 由于 y x = sin 在闭区间 [ , ] 2 2   − 上单调增加且连续，所以它的反函数 y x = arcsin 在 闭区间 [ 1,1] − 上单调增加且连续。 同理， y x = arccos 在闭区间 [ 1,1] − 上单调减少且连续； y x = arctan 在区间 ( , ) − + 上单调增 加且连续； y x = arccot 在区间 ( , ) − + 上单调减少且连续。即反三角函数在它们的定义域 内连续。 定理 3 设函数 u x =( ) 在点 0 x x = 连续，且 0 0 ( ) x u = ，而函数 y f u = ( ) 在点 0 u u = 连