例231圆柱体的冷却.设有一个无穷长的圆柱体,半径为a.很自然地我们应该选用柱 坐标系,z轴即为圆柱体的轴.如果柱体的表面温度维持为0,初温为uof(r),试求柱体内温度 的分布和变化 解显然温度u与,z无关,即u=u(r,t).它由定解问题 at l=0有界,ul of(o 决定.根据前面的一般讨论,容易写出此定解问题的一般解 44=2--( 其中μ是J(x)的第i个正零点代入初条件,有 u(vt)=0=∑cJ( uof(r) 所以 ajI(ui) 知道了f(r)的具体形式,就可以算出上面的积分.例如,若 便有 最后一步用到了例21.2中的计算结果 将本题得到的结果 11() 两端微商,并令x=1,还可以导出一个有意思的结果 2Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ ✆ ✝ ✞ (✁ ) ➼ 7 ➽ ❛ 23.1 ✯❜ ✖ ✥❝❞✩❡✳✓✔ö÷❢ ✥ ✯❜ ✖✛❣❤❐ a ✩✐ ✠✡ý✭ø➷❬❥ï ❜ ❸❹❺✛ z ÿ✸ ❐ ✯❜ ✖ ✥ ÿ✩❀ ✬❜✖ ✥❦ ❶❧♠♥♦❐ 0 ✛♣❧ ❐ u0f(r) ✛q✪ ❜ ✖ r❧♠ ✥ ➅þ➆ ➨ Ö ✩ s t✡❧♠ u ✉ φ, z öð✛✸ u = u(r, t) ✩➮ Ü ✮➜✗✘ ∂u ∂t − κ r ∂ ∂r  r ∂u ∂r  = 0, (23.17a) u   r=0✳ ➈, u   r=a = 0, (23.17b) u   t=0 = u0f(r) (23.17c) ✈✮✩✇①②❶ ✥ ✓✜✜✢✛③④✖✗➞✮➜✗✘✥ ✓✜➜ u(r, t) = X∞ i=1 ci J0  µi r a  exp  −κ µi a 2 t  , (23.18) ê ❿ µi ➌ J0(x) ✥Þ i ✔ß➛❼✩➠✙♣ ➉➊✛✳ u(r, t)   t=0 = X∞ i=1 ci J0  µi r a  = u0f(r). ❒➥ ci = 2u0 a 2J 2 1 (µi) Z a 0 f(r) J0  µi r a  r dr. (23.19) ❰⑤ æ f(r) ✥ ✕✖✰ ➟✛ ➋ ➔➥⑥✗ë❶ ✥ ✫➅✩⑦❀✛⑧ f(r) = 1 −  r a 2 , (23.20) ⑨✳ ci = 2u0 a 2J 2 1 (µi) Z a 0  1 −  r a 2  J0  µi r a  r dr = 8u0 µ 3 i J1(µi) . (23.21) ⑩✾✓❶ï➑æ⑦ 21.2 ❿✥❷ ⑥ ñ✬ ✩ ➝ ✦ ✘↕➑✥ñ✬ 1 − x 2 = 8X∞ i=1 1 µ 3 i J1(µi) J0(µix) ➫ ✶ ➄❸✛➢➤ x = 1 ✛❭➔➥❹✗✓✔✳ ✛❺✥ñ✬ ❋ X∞ i=1 1 µ 2 i = 1 4 . (23.22)