§231 Bessel方程的本征值问 第8页 例232圆环作平面径向振动的固有频率.设圆环的内外半径分别为a和b.若内边界(内 圆)固定,外边界(外圆)自由,求圆环作平面径向振动的固有频率 解显然应该选用平面极坐标系.则位移(矢量)u=uer满足的波动方程为 因为 2 du 所以方程(23.23)等价于偏微分方程组 (23.23) 由此可见,径向位移与无关,u=u(r,t)满足微分方程和边界条件 -/ (23.24a) (23.24b) 令u(r,t)=B(n)e-t,k=w/e,代入(23.24),便得到 1d「R(21 R(r)=0 (23.25a) R(a)=0.F(b)=0. (23.25b) 容易证明,k=0时本征值问题(23.25)无解,于是,可作变换x=k和v(x)=R(r),而将方程 (23.25a)化为Bese方程,由此即可得到方程(23.25a)的通解 R(r)=CJ1(kr)+ DNI(kr) 代入边界条件(2325b),即得 CJi(ka)+ DNI (ka)=0, CJ1(b)+ DNI(kb)=0 这可以看成是美于C和D的线性代数方程组,有非零解的充分必要条件是 Ji(ka) Ni(ka) Ji(kb) N(kb) 这样就求得圆环作平面径向振动的固有频率a=kc,其中k是 JI(ka)N(kb)-N(ka)J(kb)=0 (23.26) 的第i个正根(由小到大排列),求出C和D,就可写出相应的固有振动模式 u:(r, t)=N,(k a)J(k; r)-J1(k a)N,(kirle-iktct (23.27)Wu Chong-shi §23.1 Bessel ➭➯➲➳➵➸➺➻ ➼ 8 ➽ ❛ 23.2 ✯❻ Ô⑩❶❤ ❼çè✥ ✭✳✴✵✩❡ ✯❻✥ r❽❣❤➅✥ ❐ a ➆ b ✩⑧ r➇➈ (r ✯) ✭✮✛❽ ➇➈ (❽ ✯) ✠ Ü ✛✪ ✯❻ Ô⑩❶❤ ❼çè✥ ✭✳✴✵✩ s t✡➷❬❥ï⑩❶❷❸❹❺✩å❾❿ (➀ ➩ )u = uer ✘✙✥➁ è ✣✤❐ ∂ 2u ∂t2 − c 2∇2u = 0. (23.23) ✴ ❐ ∇2u ≡ ∇2 (uer) =  ∇2u − u r 2  er + 2 r 2 ∂u ∂φeφ, ❒➥✣✤ (23.23) ➂➃➬➃➄➅✣✤➄ ∂ 2u ∂t2 − c 2 h ∇2u − u r 2 i = 0, ∂u ∂φ = 0. (23.230 ) Ü ➞➔ ➹ ✛❤ ❼❾❿✉ φ öð✛ u = u(r, t) ✘✙➄➅✣✤➆➇➈➉➊ ∂ 2u ∂t2 − c 2  1 r ∂ ∂r  r ∂u ∂r  − u r 2  = 0, (23.24a) u   r=a = 0, ∂u ∂r     r=b = 0. (23.24b) ➤ u(r, t) = R(r)e−iωt, k = ω/c ✛➠✙ (23.24) ✛⑨↕➑ 1 r d dr  r dR(r) dr  +  k 2 − 1 r 2  R(r) = 0, (23.25a) R(a) = 0, R0 (b) = 0. (23.25b) ③④Ñ Ò✛ k = 0 õ✦✧★✗✘ (23.25) ö➜✩➬➌ ✛➔Ô➨Õ x = kr ➆ y(x) = R(r) ✛Ï➝ ✣✤ (23.25a) Ö❐ Bessel ✣✤✛ Ü ➞✸➔↕➑✣✤ (23.25a) ✥ Ó➜ R(r) = CJ1(kr) + DN1(kr). ➠✙ ➇➈➉➊ (23.25b) ✛✸↕ CJ1(ka) + DN1(ka) = 0, CJ 0 1 (kb) + DN 0 1 (kb) = 0. ➁➔➥➅❋➌ ð➬ C ➆ D ✥➆❏➠ ✃✣✤➄ ✛✳➙➛➜✥➇ ➅➈➍ ➉➊➌      J1(ka) N1(ka) J 0 1 (kb) N0 1 (kb)      = 0. ➁➂➋ ✪↕ ✯❻ Ô⑩❶❤ ❼çè✥ ✭✳✴✵ ωi = kic ✛ê ❿ ki ➌ J1(ka)N0 1 (kb) − N1(ka)J0 1 (kb) = 0 (23.26) ✥Þ i ✔ß✇ (Üà➑áâã) ✩✪✗ C ➆ D ✛ ➋ ➔✖✗✧➷ ✥ ✭✳çè✿ ➟ ui(r, t) = [N1(kia)J1(kir) − J1(kia)N1(kir)] e−ikict . (23.27)