30.证:矩阵A,B,C都有代数重数为3的特征值a,但矩阵A是对角阵,特征值a有3个特征向量 即几何重数是3,而矩阵B,C的特征向量分别是1个和2个,即B的特征值a的几何重数是 矩阵C的特征值a的几何重数是2,它们均不可对角化,而且B,C也不相似 31.证:因矩阵A与对角阵A=diag(A1,A2,,An)相似,该对角阵的元素为矩阵A的特征值 设矩阵A与这些特征值对应的特征向量按次序排列成矩阵P=「x1x2 A=PAP-1,将矩阵P-1和P分别左乘和右乘矩阵AE-A,有 P-(E-A)P-=ME-A= 入 即AE-A与对角阵A相似同样用P和P左、右作用于矩阵(AE-A P-(E-AmP=P-(E-A)mPP-(E-AmP.P-(E-A)mP=Am 即(入E-A)与Am相似,因此,矩阵 rank(AiE-A)=rank((AE-a)") 32.解(b 0 1入-3 1 (A-1)(A-3)2(入-5)求得特征值: -2-10 入=1 121 1012 2 0→ 0-101 2 01 =0→x= 10 010 101 2-1 1 101 12-1 02=0→x4=-1 令P=x12x22x3x4,则PAP=dag(1,3,3,5)30. 证: 矩阵 A, B, C 都有代数重数为 3 的特征值 a, 但矩阵 A 是对角阵, 特征值 a 有 3 个特征向量, 即几何重数是 3, 而矩阵 B, C 的特征向量分别是 1 个和 2 个, 即 B 的特征值 a 的几何重数是 1, 矩阵 C 的特征值 a 的几何重数是 2, 它们均不可对角化, 而且 B, C 也不相似. 31. 证: 因矩阵 A 与对角阵 Λ = diag (λ1, λ2, . . . , λn) 相似, 该对角阵的元素为矩阵 A 的特征值, 设矩阵 A 与这些特征值对应的特征向量按次序排列成矩阵 P = h x1 x2 · · · xn i , 则 A = PΛP−1 , 将矩阵 P−1 和 P 分别左乘和右乘矩阵 λiE − A, 有 P −1 (λiEi − A) P −1 = λiE − Λ =          λi − λ1 . . . λi − λi . . . λi − λn          4 = Λ˜ 即 λiE − A 与对角阵 Λ˜ 相似. 同样用 P−1 和 P 左、右作用于矩阵 (λiE − A) m P −1 (λiE − A) m P = P −1 (λiE − A) m PP−1 (λiE − A) m P · · · P −1 (λiE − A) m P = Λ˜ m 即 (λiE − A) m 与 Λ˜ m 相似, 因此, 矩阵 rank (λiE − A) = rank ((λiE − A) m) 32. 解:(b)          λ − 3 −1 0 1 −1 λ − 3 1 0 0 1 λ − 3 −1 1 0 −1 λ − 3          = (λ − 1)(λ − 3)2 (λ − 5) 求得特征值: λ = 1 :      −2 −1 0 1 −1 −2 1 0 0 1 −2 −1 1 0 −1 −2           x1 x2 x3 x4      = 0 ⇒ x1 =      1 −1 −1 1      λ = 3 :      0 −1 0 1 −1 0 1 0 0 1 0 −1 1 0 −1 0           x1 x2 x3 x4      = 0 ⇒ x2 =      1 0 1 0      , x3 =      0 1 0 1      λ = 5 :      2 −1 0 1 −1 2 1 0 0 1 2 −1 1 0 −1 2           x1 x2 x3 x4      = 0 ⇒ x4 =      −1 −1 1 1      令 P =  1 2 x1 √ 2 2 x2 √ 2 2 x3 1 2 x4  , 则 PT AP = diag (1, 3, 3, 5)