得到 )dxdydz 所以重心坐标为(00.5R) 13.证明不等式 2x(√17-4)≤∫ dxdy 16+sin2xtsin 证首先有 dadu ddv +y2≤1 另一方面,由sin2u≤u2,得到 dxd 16+ 2x(√17-4)。 所以 dodi 2r(√17-4)≤ 4√6+sn2x+smn个 14.设一元函数f(au)在[-1上连续,证明 f(x+y)dxdy= f(udu 证作变换u=x+y,y=x-y,则-1≤u≤1,-1≤v≤1,变换的 Jacobi行 列式为 (u,v) a(x, y) a(x, y) 于是 f(x+y)drdy=/(uo(x, y duce a(u2) f(udul dv=f(u)du 15.设一元函数f(u)在[-1上连续。证明 Jr)drdyd=f(u1-u2)du 其中g为单位球x2+y2+z2≤1 证 其中 于是得到 = + + = ∫∫∫ Ω M z x y z dxdydz z ( ) 2 2 2 R 4 5 ， 所以重心坐标为 ) 4 5 (0,0, R 。 13．证明不等式 16 sin sin 4 2 ( 17 4) 1 2 2 2 2 π π ≤ + + − ≤ ∫∫ x + y ≤ x y dxdy 。 证 首先有 4 4 1 1 16 sin sin 1 2 2 2 2 2 2 π ≤ = + + ∫∫ ∫∫ x + y ≤ x + y ≤ dxdy x y dxdy 。 另一方面，由 sin2 u ≤ u 2，得到 2 2 2 2 2 2 2 x y 1 1 16 sin sin x y 16 dxdy dxdy 2 + ≤ x y x + ≤ ≥ + + + + ∫∫ ∫∫ y 2 1 0 0 2 16 rdr d r π = θ + ∫ ∫ = 2π ( 17 − 4)。 所以 16 sin sin 4 2 ( 17 4) 1 2 2 2 2 π π ≤ + + − ≤ ∫∫ x + y ≤ x y dxdy 。 14．设一元函数 f (u)在[−1,1]上连续，证明 ∫∫ ∫− + ≤ + = 1 1 | | | | 1 f (x y)dxdy f (u)du x y 。 证 作变换 u = x + y,v = x − y，则−1 ≤ u ≤ 1, −1 ≤ v ≤ 1，变换的 Jacobi 行 列式为 2 1 ( , ) ( , ) 2, ( , ) ( , ) = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ u v x y x y u v 。 于是 | ||| 1 ( , ) ( ) ( ) ( , ) x y D x y f x y dxdy f u dudv u v + ≤ ′ ∂ + = ∂ ∫∫ ∫∫ 1 1 1 1 1 ( ) 2 f u du dv − − = ∫ ∫ ∫− = 1 1 f (u)du 。 15．设一元函数 f (u)在[−1,1]上连续。证明 ∫∫∫ ∫− Ω = − 1 1 2 f (z)dxdydz π f (u)(1 u )du ， 其中Ω为单位球 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1。 证 1 1 ( ) ( ) z f z dxdydz f z dz dxdy − Ω Ω = ∫∫∫ ∫ ∫∫ ， 其中Ω =z 2 2 1 2 x + ≤ y − z ，于是 9