即h2-h2=4,从而解得 h=4(cm)。 又设容器盛有128立方厘米水时水面的高为H,则 de r(H-r) 即 从而解得 H=16(cm) 所以水面比原来升高12(cm) 1l.求质量为M的均匀薄片{x+y对:轴上0.c)(>0)点处的 =0 单位质量的质点的引力。 解设薄片对单位质点的引力为F=(F2,F,F),由对称性,F=F,=0 在均匀薄片上点(x,y0)的附近取一小块,其面积设为do=dzh,根 据万有引力定律,这小块微元对质点的引力为 G G didi (x2+y2+c2)2 c2)2 于是 x ty tc G rdr F:=- 2MG 其中G是万有引力常数,M是均匀薄片的质量,ρ是均匀薄片的密 度 12.已知球体x2+y2+z2≤2R,在其上任一点的密度在数量上等于该 点到原点距离的平方,求球体的质量与重心。 解设球体的质量为M,则 ∫cey2+2)dh= de 2 sin adobo ordr 设重心的坐标为(x,,),由对称性,x=y=0。由 订(2+y2+)2h=5,即 4 4 1 2 1 2 2 h − h = ，从而解得 h = 4（cm）。 又设容器盛有128π 立方厘米水时水面的高为H ，则 θ π π ( ) 128 0 2 2 0 − = ∫ ∫ H d r H r dr ， 即 64 4 1 2 1 2 2 H − H = ，从而解得 H = 16（cm）， 所以水面比原来升高12（cm）。 11．求质量为M 的均匀薄片 对 轴上 点处的 单位质量的质点的引力。 ⎩ ⎨ ⎧ = + ≤ 0 2 2 2 z x y a z ( , 0 0,c c ) ( > 0) 解 设薄片对单位质点的引力为 ( , , ) F = F x y F Fz ，由对称性，Fx = Fy = 0。 在均匀薄片上点(x, y,0)的附近取一小块，其面积设为dσ = dxdy ，根 据万有引力定律，这小块微元对质点的引力为 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ( ) ( ) ( ) G x G y G c d dxdy dxdy dxdy x y c x y c x y c ρ ρ ρ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎝ ⎠ + + + + + + F 3 2 ， 于是 dFz = dxdy x y c G c 2 3 2 2 2 ( + + ) − ρ ， ∫∫ ∫ ∫ + = − + + = − a D z r c rdr dxdy G c d x y c G c F 0 2 3 2 2 2 0 2 3 2 2 2 ( ) ( ) π ρ θ ρ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = − − 2 2 1 1 2 a c c πGρc ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − 2 2 2 1 2 a c c a MG ， 其中 G 是万有引力常数，M 是均匀薄片的质量，ρ 是均匀薄片的密 度。 12．已知球体 ，在其上任一点的密度在数量上等于该 点到原点距离的平方，求球体的质量与重心。 x y z R 2 2 2 + + ≤ 2 z 解 设球体的质量为M ，则 = + + = = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ Ω ϕ π π θ ϕ ϕ 2 cos 0 4 2 0 2 0 2 2 2 ( ) sin R M x y z dxdydz d d r dr 5 15 32 πR 。 设重心的坐标为( , x y z, )，由对称性， x = y = 0。由 + + = ∫∫∫ Ω z(x y z )dxdydz 2 2 2 6 2 cos 0 5 2 0 2 0 3 8 d sin cos d r dr R R θ ϕ ϕ ϕ π ϕ π π = ∫ ∫ ∫ ， 8