在xy平面的投影区域为 D:x2+y2≤4, 于是 V=(6-x2-y2-Vx2+)dxdy=h def(6-r2-r)rdr 8.求下列曲面所围空间区域的体积 (a,b,c>0) (2)(x+2)+(3=1(ab.c>0)与三张平面x=0,y=0.=0所 围的在第一卦限的立体。 x=arsin cos B 解(1)作变量代换{y= brsin sin,则(x到=ar3smp。 (r,9,6) 二= cr cOs 由于x≥0,所以-≤0≤,0≤9≤x,0≤r≤(a2 sin g cos()3。于是 3a'bc2 cos de sin pdo=tabc x=arsin cos 8 (2)作变量代换{y= brsin o e,则c(xy) abcr2 sin sin20,于是 a(r,Q,0) cros p V=abc2 sin 200 2 sin adp[rdr3 9.设一物体在空间的表示为由曲面42=25(x2+y2)与平面z=5所围成 的一立体。其密度为p(x,y,)=x2+y2,求此物体的质量。 解设物体的质量为M,则 MJx男0=25-)=8x 10.在一个形状为旋转抛物面x=x2+y2的容器内,已经盛有8m立方厘 米的水,现又倒入120z立方厘米的水,问水面比原来升高多少厘 米 解设容器盛有8x立方厘米水时水面的高为h,则 dO|r(h-r2)d=8丌在 xy平面的投影区域为 : 4 2 2 D x + y ≤ ， 于是 = − − − + = − − = ∫∫ ∫ ∫ 2 0 2 2 0 2 2 2 2 V (6 x y x y )dxdy d (6 r r)rdr D π θ π 3 32 。 8．求下列曲面所围空间区域的体积： （1） x a y b z c ax abc 2 2 2 2 2 2 2 + + 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = > ( , , )； （2） 1 ( , , 0) 2 2 ⎟ = > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + a b c c z b y a x 与三张平面 x = 0, y = 0,z = 0 所 围的在第一卦限的立体。 解（1）作变量代换 ，则 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos z cr y br x ar ϕ ϕ θ sin ( , , ) ( , , ) 2 abcr r x y z = ∂ ∂ 。 由于 x ≥ 0，所以 3 1 2 , 0 , 0 ( sin cos ) 2 2 ϕ π ϕ θ π θ π − ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ r ≤ a 。于是 ∫ ∫ ∫ − = 3 1 2 ( sin cos ) 0 2 0 2 2 sin π ϕ θ π π θ ϕ ϕ a V abc d d r dr ∫ ∫ − = π π π θ θ ϕ ϕ 0 2 2 2 3 cos sin 3 1 a bc d d = a bc 3 3 π 。 （2）作变量代换 ，则 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ϕ ϕ θ ϕ θ cos sin sin sin cos 2 2 z cr y br x ar ϕ θ ϕ θ sin sin 2 ( , , ) ( , , ) 2 abcr r x y z = ∂ ∂ ，于是 3 sin 2 sin 1 0 2 2 0 2 0 abc V = abc d d r dr = ∫ ∫ ∫ π π θ θ ϕ ϕ 。 9．设一物体在空间的表示为由曲面 与平面 所围成 的一立体。其密度为 ，求此物体的质量。 4 25( ) 2 2 2 z = x + y z = 5 2 2 ρ(x, y,z) = x + y 解 设物体的质量为M ，则 ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = = − Ω 2 0 3 5 2 5 2 0 3 2 0 ) 2 5 M (x, y,z)dxdydz d r dr dz 2 r (5 r dr r ρ θ π π = 8π 。 10. 在一个形状为旋转抛物面z x = 2 + y 2的容器内，已经盛有8π 立方厘 米的水，现又倒入120π 立方厘米的水，问水面比原来升高多少厘 米。 解 设容器盛有8π 立方厘米水时水面的高为h，则 θ π π ( ) 8 0 2 2 0 − = ∫ ∫ h d r h r dr ， 7