Jex+y+=)2dxdyd:=f(x2+y2+2)drdyd: 应用柱坐标,就有 2a (x +y+: dxdydz =27|+3-x2-+(2-132-25/2 3a2√3a2 d 24a 2( 97 30 (6)可得Ω由曲面x2+y2=2与平面z=8所围,应用柱坐标,则 502+y2krdyd:=Jo dedordrl d==270/(8-)dr=/ (7)应用球坐标,则 od== do sin odo arlo sin g cos2 ado 4 (8)作变换n=x+y-:,=x-y+:=y+:-x,则2.m d(x,y,=) 于是 所以 d(u,v, w) 4 er+y-x)x-y+=0+2-x)drdyd 6.求球面x2+y2+2=R2和圆柱面x2+y2=R(R>0)所围立体的体 积 解 rose J=2 x2-y2dy=42 dr R[2(1-sin 0)de 6丌-8 7.求抛物面z=6-x2-y2与锥面=√x2+y2所围立体的体积。 解联立两个曲面方程,解得交线所在的平面为z=2,所围空间区域( ) x + +y z dxdydz ∫∫∫ 2 Ω ∫∫∫ Ω = (x + y + z )dxdydz 2 2 2 ， 应用柱坐标，就有 ( ) x + +y z dxdydz ∫∫∫ 2 Ω ∫ ∫ ∫ − = + 2 2 2 3 2 2 2 2 0 2 0 ( ) a r a r a d rdr r z dz π θ ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − + − − a rdr a r a r a r r a r 2 0 3 6 2 3 2 2 4 2 2 2 24 (3 ) 3 1 2 2π 3 ∫ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − a rdr a r a r a a r a r 2 0 3 4 6 2 3 2 2 2 2 2 2 24 (3 ) 3 2 2π 3 3 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − − − − − 3 6 8 5 5 96 16 6 8 (9 3 1) 15 4 2(3 3 1) a a a a π a a = 5 30 108 3 97 πa − 。 （6）可得 Ω 由曲面 x 2 + y 2 = 2z 与平面 z = 8所围，应用柱坐标，则 ( ) ∫∫∫ Ω x + y dxdydz 2 2 = ∫ ∫ ∫ ∫ = − 4 0 2 3 8 2 4 0 3 2 0 ) 2 2 2 (8 dr r d r dr dz r r θ π π = π 3 1024 。 （7）应用球坐标，则 ∫∫∫ Ω + + dxdydz x y z 2 2 2 1 ∫ ∫ ∫ = π π ϕ θ ϕ ϕ 2cos 0 0 0 d sin d rdr = = ∫ π π ϕ ϕ ϕ 0 2 2 sin cos d π 3 4 。 （8）作变换u = x + y − z, v = x − y + z, w = y + z − x，则 4 ( , , ) ( , , ) = − ∂ ∂ x y z u v w ， 于是 4 1 ( , , ) ( , , ) = − ∂ ∂ u v w x y z ，所以 ∫∫∫ Ω (x + y − z)(x − y + z)( y + z − x)dxdydz 32 1 4 1 ( , , ) ( , , ) 1 0 1 0 1 0 = = ∂ ∂ = ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ Ω′ dudvdw udu vdv wdw u v w x y z uvw 。 6．求球面 和圆柱面 所围立体的体 积。 x y z R 2 2 2 + + = 2 x y Rx R ) 2 2 + = ( > 0 解 ∫∫ ∫ ∫ = − − = − + ≤ θ π θ cos 0 2 2 2 0 2 2 2 2 4 2 2 R x y Rx V R x y dxdy d R r rdr = − = ∫ 2 0 3 3 (1 sin ) 3 4 π R θ dθ 3 9 6 8 R π − 。 7．求抛物面z x = −6 2 − y 2 与锥面z x = + y 2 2 所围立体的体积。 解 联立两个曲面方程，解得交线所在的平面为 z = 2，所围空间区域 6