f()dxdyd:=, f(=)d= dxdy 2) 16.计算下列n重积分: (1)∫√x1+x2+…+x2…d,其中 9={(x1 xn)x,+x ≤1,x1≥0,i (2)∫(x2+x2+…+x2)d2…d,其中 2为n维球体{(x1,x2,…,xn)|x12+x2+…+xn2≤l}。 解(1)作变量代换y=x+3+“+xn,则ny2,ym)=1,从而 =1,于是 a(y1,y2,…,y x2+…+x,山山d=√… ∫Vdd2J… JoRdy o dy 2o dy- (n-1)!(2n+1) x2=rsinp, cos p2 (2)作球面坐标变换{3=90 I sin x xn=rsin gi sin p2 它把Ω变为 ,9n-2,On-)0≤r≤1,0≤ 1,2,…,n-2),0≤qn≤2r} 它的 Jacob行列式为1 1 ( ) ( ) z f z dxdydz f z dz dxdy − Ω Ω = ∫∫∫ ∫ ∫∫ 1 2 1 f ( )z z (1 )dz ∫− = − 1 1 2 π π f (u)(1 u )du − = − ∫ 。 16．计算下列n重积分： （1） x x x dx dx dx ∫ 1 2 + +"+ n n 1 2" Ω ，其中 Ω {( , , , ) | 1, 0, 1,2, , } = x1 x2 " xn x1 + x2 +"+ xn ≤ xi ≥ i = " n ； （2）∫ (x x 1 2 + + 2 2 2 "+xn n )dx1 2 dx dx ，其中 Ω " Ω 为n维球体{(x1 , x2 ,", xn ) | x1 2 + x2 2 +"+ xn 2 ≤ 1}。 解（1）作变量代换 , 则 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = + + + = + + + + n n n n y x y x x x y x x x x " " " 2 2 3 1 1 2 3 1 ( , , ) ( , , ) 1, 2 1, 2 = ∂ ∂ n n x x x y y y " " ，从而 1 ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 = ∂ ∂ n n y y y x x x " " ，于是 ∫Ω + + + n n x x " x dx dx "dx 1 2 1 2 ∫Ω′ = n y dy dy "dy 1 1 2 ∫ ∫ ∫ ∫ − = 1 0 0 0 0 1 1 2 3 1 2 1 y y y n n y dy dy dy " dy ∫ ∫ ∫ ∫ − − − = 1 0 0 0 0 1 1 2 3 1 2 1 ( )! 1 y y y i n i i i y dy dy dy y dy n i " = − = ∫ + − 1 0 1 1 2 1 1 ( 1)! 1 y dy n n ( 1)!(2 1) 2 n − n + 。 （2）作球面坐标变换 , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = − − − − − 1 2 2 1 1 1 2 2 1 3 1 2 3 2 1 2 1 1 sin sin sin sin sin sin sin cos sin sin cos sin cos cos n n n n n n x r x r x r x r x r ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ " " "" 它把 Ω 变为 Ω =' ({ r r ,ϕ1 2 ," " ,ϕ ϕ n n − − , 1)| 0 ≤ ≤1,0 ≤ϕi ≤ π (i =1,2, ,n − 2),0 ≤ϕn−1 ≤ 2π}。 它的 Jacobi 行列式为 10