复旦大学 2011~2012学年第二学期期末考试试卷(A卷答案) 课程名称:高等数学(B)课程代码:MATH120004.03 开课院系:数学科学学院考试形式: 闭卷 姓名: 学号: 专业 6 10总分 得分 (10分)求球面x2+y2+22=7和平面x+y+z=0的交线在点(2)处的切 线方程 解: 二,(10分)求级数 (丫的和。 3(2n+1) 解令出-,则()- (-1)。由于 (xS(x)=∑(-1)x2=,-1,所以x(x)= arctan-x √3r 三,(10分)求/(x,y,z)=x4+y2+在曲面xz=1上的极值,并说明是极大值还 是极小值 解:令L=x++y2+=4+(-1),则4x3+=4y3+Ax=4z3+y=0.xz=1, 解之得四个解(11-1-1)(-1-1)(+1-1),以及=-4。可得极值为3。由对 称性只需验证点(1是函数L=x2+y4+4-4(xz-1)的极小值点即可。计算知, 1)=2(.1)=2(11)=12,且 0(1)=22(1)=1)-4所 以这个函数在(,1,1)处的 Hessian矩阵是正定的1 复旦大学 2011 ～2012 学年第二学期期末考试试卷（A 卷答案） 课程名称：____高等数学（B）__ 课程代码：___ MATH120004.03___ 开课院系：____数学科学学院______ 考试形式： 闭卷 姓 名： 学 号： 专 业： 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总 分 得 分 一．（10 分）求球面 2 7 2 2 2 x  y  z  和平面 x  y  z  0 的交线在点  2,1,1 处的切 线方程。 解： 6 1 5 1 1 2      x  y z 。 二．( 10 分) 求级数          1 3 2 1 1 n n n n 的和。 解：令     n n n x n S x 2 1 2 1 1       ，则                 1 3 2 1 1 3 1 n n n n S 。由于      1 1 1 1 2 1 2          x xS x x n n n ，所以   1 6 3 3 1 arctan ,            xS x x x S 。 三．（10 分）求   4 4 4 f x, y,z  x  y  z 在曲面 xyz 1 上的极值，并说明是极大值还 是极小值。 解：令  1 4 4 4 L  x  y  z   xyz  ，则 4 4 4 0, 1 3 3 3 x  yz  y  xz  z  xy  xyz  ， 解之得四个解 (1,1,1),1,1,1,1,1,1,1,1,1 ，以及   4 。可得极值为 3。由对 称性，只需验证点 (1,1,1) 是函数 4 1 4 4 4 L  x  y  z  xyz  的极小值点即可。计算知， 1,1,1 1,1,1 1,1,1 12, 2 2 2 2 2 2          z L y L x L 且 1,1,1 1,1,1 1,1,1 4, 2 2 2              z x L y z L x y L 所 以这个函数在 (1,1,1) 处的 Hessian 矩阵是正定的